قضایای نقطه ثابت برای ناخودنگاشت های غیرخطی در فضا های هیلبرت و کاربردها

امروزه در اغلب شاخه های ریاضیات از قبیل آنالیز، جبر، هندسه، توپولوژی، نظریه اعداد، نظریه گروه ها و نظریه مجموعه ها و حتی در علوم دیگر نظیر فیزیک، زیست شناسی، تئوری بازی ها و ... نقطه ثابت یک نگاشت از اهمیت ویژه ای برخوردار است. ‎‎ یکی از قضایای مهم نقطه ثابت، قضیه نقطه ثابت براوئر است که می توان از آن نتیجه گرفت که هر نگاشت پیوسته روی مجموعه های محدب، بسته و کراندار در‎$ {r}^{n} $‎ دارای نقطه ثابت است. از دیگر کاربردهای قضیه نقطه ثابت براوئر می توان به مثال های زیر اشاره کرد : ‎egin{enumerate}‎ ‎item[(1)]‎ اگر ورقه کاغذی را مچاله کنیم و آن را به جای اولش برگردانیم، نقطه ای روی کاغذ می توان یافت که درست بالای جای اولش قرار گرفته است. ‎item[(2)]‎ اگر لیوان آبی را به طور پیوسته به هم بزنیم، پس از ساکن شدن آب، می توان ادعا کرد که حداقل یک مولکول آب یافت می شود که سر جای اولش قرار گرفته است. ‎item[(3)]‎ اگر درجه حرارت به طور پیوسته بر روی یک حلقه دایره ای شکل در حال تغییر باشد، آنگاه دو نقطه متقاطر با درجه حرارت یکسان روی این حلقه وجود دارند. در نتیجه در هر لحظه بر استوای زمین (یا در هر مدار نصف النهار دیگر ) می توان دو نقطه هم دما پیدا کرد. ‎end{enumerate}‎ در این پایان نامه، ابتدا در فصل اول به بیان پیش نیازهای لازم، جهت ورود به مبحث نقطه ثابت میپردازیم. این مفاهیم عبارتند از مفاهیم فضای هیلبرت، حد باناخ، نگاشت های انقباضی ، نگاشت های ناانبساطی که در سال ‎1971‎ توسط پازی معرفی گردید، نگاشت های ناگسترنده که در سال ‎2008‎ توسط کوساکا و تاکاهاشی معرفی گردید، نگاشت های ترکیبی و همین طور بعضی قضایای نقطه ثابت برای این نگاشت ها‎.‎ در فصل دوم به معرفی نگاشت های ترکیبی، نگاشت های ‎$‎ -‎lambda $‎ ترکیبی و در ادامه به معرفی نگاشت های ترکیبی تعمیم یافته می پردازیم و قضایای نقطه ثابت را برای نگاشت های ترکیبی تعمیم یافته بیان و اثبات می کنیم. چون نگاشت های ترکیبی تعمیم یافته در برگیرنده نگاشت های ناانبساطی، ناگسترنده و ترکیبی است به کمک قضیه نقطه ثابت برای نگاشت های ترکیبی تعمیم یافته، قضیه نقطه ثابت را برای نگاشت های مذکور اثبات می کنیم. در ادامه فصل دوم نگاشت های زبرترکیبی و قضایای نقطه ثابت مربوط به آن را بیان و اثبات می کنیم. در انتهای فصل دوم به تعریف نگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته می پردازیم. ‎‎ در فصل سوم به معرفی نگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته تر می پردازیم سپس قضایای نقطه ثابت را برای این نگاشت ها بیان و اثبات می کنیم. در ادامه به کمک نگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته تر، قضایای نقطه ثابت را برای نگاشت های مشهور نظیر نگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته، نگاشت های ترکیبی، نگاشت های شبه ناانبساطی و نگاشت های شبه انقباضی اکید بیان و اثبات می کنیم‎.‎ در فصل چهارم قضایای نقطه ثابت را برای ناخودنگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته تر در یک فضای هیلبرت ارائه می دهیم سپس همانند فصل های پیشین به کمک قضایای نقطه ثابت برای ناخودنگاشت های ترکیبی وسیعاً تعمیم یافته تر، قضایای نقطه ثابت برای ناخودنگاشت های مشهور را بیان و اثبات می کنیم و در ادامه یک مساله از ناخودنگاشت ها، طرح کرده و سپس به کمک قضایای نقطه ثابت برای ناخودنگاشت ها، ثابت می کنیم که مساله دارای جواب است