مطالعه گراف ناجابه‏‏ جایی گروهها و حلقه ها و گراف کیلی حلقه های جابه جایی

گراف ناجابه جایی گروهها و گراف کیلی از معروفترین گرافهای منسوب به یک گروه هستند. در سال 1975 اردوش برای گروه دلخواه g گرافی موسوم به گراف ناجابه جایی تعریف کرد که رئوس آن عناصر غیر مرکزی gبوده و دوراس متمایز xوy مجاورند هرگاه با یکدیگر جابه جا نشوند. گراف کیلی نیز همانطور که از نامش پیداست منسوب به کیلی بوده و برای گروه دلخواه gو زیر مجموعه sاز آن که نسبت به معکوس بسته بوده و فاقد عنصر همانی است گرافی است که رئوس آن عناصرg بوده و دوراس متمایزxوy مجاورند هرگاه y=sx که در آن s عنصری از s است. در این طرح با الهام گرفتن از گراف ناجابه جایی و کیلی گراف به معرفی و بررسی خواص گرافهای زیر می پردازیم. تعمیم گراف ناجابه جایی: دو راس متمایز xو yمجاورند هرگاه خودریختی موجود باشد که فقط یکی از آنهارا ثابت نگه دارد . در این تعریف یک عنصر ازg راس است اگر تنها نباشد. تعمیمی دیگراز گراف ناجابجایی: رئوس این گراف زیرمجموعه هایی از گروه gهستند که زیر مجوعه مرکز گروه نیستند و دو راس متمایز مجاورند هرگاه جابجاگرشان همانی نباشد. گراف ناجابجایی حلقه ها: برای حلقه دلخواه rرئوس این گراف عناصر غیر مرکزی r بوده و دو راس متمایز، مجاورند چنانچه (با عمل ضرب) با بکدیگر جابه جا نشوند. در آخر برای حلقه جابه جایی و یکدار r و عدد طبیعی n گرافی را منسوب می کنیم که در تعریف شباهتی گراف کیلی دارد. رئوس این گراف عناصر ناصفر حاصلضرب دکارتی r برای n بار بوده و دو راس مجاورند هرگاه ماتریس پایین مثلثی n درn همچون a با درایه های روی قطر اصلی ناصفر متعلق به r موجود باشد به قسمی که ax=y یاay=x .