بررسی وجود جوابهای رده هایی ازمسائل مقدار مرزی بیضوی با روشهای آنالیز غیر خطی

در این رساله کاربرد آنالیز غیرخطی در حل طیف وسیعی از معادلات غیرخطی مورد بررسی قرار می گیرد. فصل اول به پیش نیازهای ریاضی اختصاص داده شده در فصل دوم با استفاده از روش جواب های بالایی-پایینی وجود جواب برای برخی مسائل مرزی غیرخطی به صورت های: مورد بررسی قرار گرفت که در آن ها یک دامنه کراندار با مرز هموار در می باشد , پس از آن وجود و پایداری جواب های ضعیف دستگاه بیضوی : ‎ مورد تحلیل قرار گرفت. که در آن یک دامنه کران دار در ، از رده ، عملگر لاپلاس که به ازای p>1 بصورت تعریف می شود مورد بررسی قرار دادیم برای پارامترهای مثبت و چنان توابعی هستند که برای . سپس در فصل سوم موضوع به سمت وجود جواب مثبت برای دستگاه –p(x) لاپلاسین دیریکله به صورت های زیر معطوف می شود: ‎ که در ان یک دامنه کران دار با مرز از کلاس و توابع می باشند. سرانجام در فصل چهارم با استفاده از روش جواب های بالایی-پایینی وجود و عدم وجود جواب های مثبت را برای رده ای از معادلات از نوع کرشهف مورد بررسی قرار گرفت که در آن یک دامنه ی کراندار با مرز هموار می باشد. مسائل دنیای واقعی ماهیت غیرخطی دارند به این دلیل روش های آنالیز غیرخطی ابزارهای مهم مدل سازی ریاضیات نوین هستند. آنالیز غیرخطی یکی از شاخه های زیبای ریاضیات می باشد که کاربردهای زیادی در علوم کاربردی دارد در واقع مدل سازی ریاضی در مسائل مهم شاخه های مختلف علوم از جمله فیزیک، مهندسی مکانیک، سیستم های کنترل، اقتصاد، علوم رایانه، زیست شناسی، علوم جمعیتی و ... به طور طبیعی به بررسی معادلات دیفرانسیل غیرخطی منجر می شود. بررسی رفتار و وجود جواب معادلات مختلف به کمک روش های آنالیز غیرخطی در سال های اخیر توجه بسیاری از پژوهشگران این عرصه را به خود معطوف داشته است. از اینرو آنالیز غیرخطی و حساب تغییرات هم اکنون یکی از شاخه های بسیار جذاب و پرکاربرد در زمینه مطالعه نظریه و مسائل مقدار مرزی تبدیل شده است.در این پایان نامه با استفاده از روشهای انالیز غیر خطی به بررسی وجود جواب برای برخی از مسائل مقدار مرزی می پردازیم. به عبارت دقیقتر پس از یاد اوری تعاریف, قضایا و مقدمات لازم در فصل اول, در فصل های دوم ,سوم و چهارم با استفاده از روش جوابهای بالایی و پایینی به مطالعه وجود جوابهای مثبت به ترتیب برای رده ای از مسائل غیر خطی شامل عملگرهای لاپلاس p(x)-لا پلاس و معادلات از نوع کرشهف خواهیم پرداخت.روش جوابهای بالایی و پایینی یک ابزار شناخته شده است که برای اثبات نتایج وجودی جواب ها برای کلاس بسیاری از مسائل مقدار مرزی مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی و جزیی مورد استفاده قرار می گیرد.پیدایش روش جواب های بالایی و پایینی را می توان به پیکارد ‎نسبت داد.او در سال ‎1890‎ برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و در سال ‎1890‎ برای معادلات دیفرانسیل معمولی تکرار یکنوا از یک جواب پایینی را معرفی کرده است.دستیابی به موفقیت بیشتر توسط دراگنی در سال ‎1931‎ برای یک معادله دیفرانسیل معمولی با شرط های مرزی دیریکله و ناگومو در سال ‎1954‎ برای معادلات دیفرانسیل جزیی با شرط های مرزی دیریکله انجام گرفت در سال ‎1976‎ امان این روش را به مفهوم کلاسیک بطور گسترده مورد مطالعه قرار داد لم هایی را برای بررسی چند گانگی جوابها نیز بیان کرد.سپس افراد زیادی از جمله کانادا, درابک و جیمز شیواجی به مطالعه این روش در دو مفهوم کلاسیک و ضعیف پرداختند. .