حل عددی معادلات دیفرانسیل با مرتبه کسری به وسیله پایه های موجکی

در این رساله ابتدا برای آشنایی با حسابان کسری، عملگرهای مشتق گیری و انتگرال گیری کسری گرونوالد-لت نیکوف و ریمان-لیوویل و همچنین عملگر مشتق گیری کاپوتو معرفی و برخی خواص اساسی آنها مورد بررسی قرار می گیرند. سپس توابع ضربه ای قطعه ای معرفی و برای حل معادلات دیفرانسیل لینارد و لین-امدن تعمیم یافته در دامنه های بزرگ مورد استفاده قرار می گیرند. در ادامه آنالیز فوریه و روش های طیفی معرفی می گردند. سپس به معرفی چندجمله ای های انتقال یافته چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر و ویژگی های آنها پرداخته می شود. با استفاده از ویژگی های این چندجمله ای ها، ماتریس های عملگر های مشتق گیری کسری کاپوتو و انتگرال گیری کسری ریمان-لیوویل برای این چندجمله ای ها محاسبه می شوند. در ادامه موجک های چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر معرفی و خواص آنها مورد بررسی قرار می گیرند. همچنین کاربرد موجک های چبیشف نوع اول همراه با ماتریس های عملگر های مشتق گیری و انتگرال گیری آنها برای حل معادلات غیر خطی به وجود آمده در مساله انتقال گرما، معادله ی انتشار (پخش) حرارت و معادله ی تلگراف مورد بررسی قرار خواهند گرفت. در ادامه یک روند کلی برای بدست آوردن ماتریس های عملگر های انتگرال گیری کسری ریمان-لیوویل و مشتق گیری کسری کاپوتو برای موجک های چبیشف نوع اول و دوم و لژاندر معرفی و این ماتریس ها برای حل چند نوع از معادلات تابعی کسری مورد استفاده قرار می گیرند. همچنین ماتریس های جدید برای عملگر مشتق گیری کسری کاپوتو برای موجک های لژاندر و چبیشف نوع اول تعیین می شود و این ماتریس ها برای حل معادله ی پواسن کسری و دستگاه معادلات دیفرانسیل-انتگرال کسری مورد استفاده قرار می گیرند. در نهایت موجک های لژاندر تعمیم یافته معرفی و برای حل مدل رشد جمعیت کسری مورد استفاده قرار می گیرند.