روش های هوشمند در کاهش مشبکه

مشبکه، زیر مجموعه گسسته ای از r^n و ترکیب خطی صحیحی از بردارهای مستقل {v1,….,vd} است که به شکل xibi ? نمایش داده می شود. در حالت n>2 انتخاب های متعددی برای بردارهای پایه وجود دارد که وضعیت مطلوب انتخاب بردارهایی کوتاه و شبه متعامد برای پایه است. مساله کوتاهترین بردار یکی از مشهورترین مسائل مشبکه است که هدف آن یافتن برداری غیر صفر با کم ترین نرم اقلیدسی است.الگوریتم های موجود برای حل این مساله به دو دسته ی الگوریتم های دقیق و الگوریتم های تقریبی تقسیم می شوند. نقش کلیدی کوتاهترین بردار در یک مشبکه، عامل اصلی گسترش دامنه ی تحقیقات و روشهای پیشنهادی برای حل این مساله شده است. در میان روشهای موجود، کاربرد و اهمیت روشهای تقریبی، به جهت حجم انبوه اطلاعات و گستردگی مسائل، روز به روز افزایش مییابد. lll یکی از الگوریتم های موجود در این دسته است که به واسطه ی کاربرد دوگانه، از اهمیت خاصی برخوردار است زیرا تغییرات حاصل از تحقیق و بررسی بر روی آن، نه تنها سبب بهبود آن میشود بلکه تغییر و بهبود الگوریتم bkz را نیز به دنبال خواهد داشت. این الگوریتم از دو شرط اصلی یعنی اندازه و لُواش ساخته شده، واضح است که برای بهبود، باید تغییری در این دو شرط ایجاد کنیم که با توجه به اهمیت شرط لُواش و اصلی ترین بخش آن یعنی نُرم اقلیدسی، تحقیقات را بر روی این نُرم، متمرکز کردیم. با توجه به نگاه موجود در الگوریتم lll درخصوص شرط لُواش، دقت در محاسبات تنها معیاری است که برای رسیدن به یک کاهش موثر در نظر گرفته شده است. ما با تغییر این نگاه که تنها بر پایه ی ریاضیات است معیارهای دیگری از جمله پیچیدگیهای محاسباتی و زمانی و همچنین هزینه ی مصرفی برای رسیدن به هدف را، در نظر گرفتیم و در نتیجه نُرم فعلی به کار رفته در شرط لُواش را با وجود دقت بالای آن کنار گذاشته و نُرم یک و بینهایت را که از نگاه کامپیوتری در اولویت بالاتری نسبت به نُرم اقلیدسی قرار دارند، جایگزین نموده و به بررسی عملکرد الگوریتم در این وضعیت پرداختیم. برای اثبات ادعای مطرح شده، از محیط نرم افزاری c++ استفاده کردیم و نتایج به دست آمده از کد نوشته شده را با استفاده از نرم افزار matlab روی نمودار آوردیم. با بکار گیری روش مقایسه ای، روی صد مشبکه با ابعاد پنج، ده، پانزده، بیست و بیست و پنج به نتایج زیر رسیدیم: 1- سرعت رشد (شیب نمودار) در نمودار زمانی نُرم یک به نسبت دو نُرم دیگر کمتر است. 2- با مقایسه ی تعداد تکرار شرط لُواش در 3 نُرم، به این نکته رسیدیم که نُرم یک، از حیث معیار پیچیدگی محاسباتی در بهترین شرایط است (یعنی کمترین مقدار ممکن را دارد). بنابر نتایج بدست آمده، هزینه ی مصرفی نُرم یک به میزان قابل توجهی، کمتر از دو نُرم دیگر است. با توجه به مطالب فوق، صحت ادعای مطرح شده ثابت گردید. در ادامه با مقایسه ی نمودار اندازه ی کوتاهترین بردار در مشبکه با دو نُرم اقلیدسی و یک، به نتیجه جالبی دست یافتیم و آن تلاش نُرم یک برای حفظ دقت محاسباتی به اندازه ی دقت محاسباتی نُرم اقلیدسی است. اهمیت این موضوع، امکان جایگزینی نُرم یک با نُرم اقلیدسی آنهم با دقت نسبتا قابل قبول است. این یافته، کارایی روش های تقریبی را، بیش از پیش نشان خواهد داد.