فرمول رادیکال و رادیکال پوچ پایینی بئر برای مدول ها

در این رساله تعمیم های با ارزشی از چندین مفهوم مهم در نظریه ی حلقه ها به مدول ها ارایه می شود به طوری که به نتایج مشابه نظریه ی حلقه ها دست یابیم برای این منظور زیر مدول p از r –مدول چپ m را یک زیر مدول اول کلاسیک می نامیم اگر به ازای هر دو ایدال b,a از r و هر زیر مدول n از m , abn نتیجه بدهد an c p یا bn c زیر مدول نیم اول به طور مشابه تعریف می گردد. سپس مفهوم m- سیستم در حلقه ها را به مدول ها تعمیم می دهیم اشتراک تمام زیر مدول های اول کلاسیک m را رادیکال بیر –مککوی یا رایدکال اول کلاسیک ) m نامیده و با cl.radr نمایش می دهیم. هم چنین مهفوم عنصر قویا پوچ توان از حلقه ها را به مدول ها تعمیم داده و رادیکال بیر پایینی یک مدول m که آن را nil(m) نمایش می دهیم برابر مجموعه ی تمام عناصر پوچ توان قوی m در نظر می گیریم نشان خواهیم داد که دو رادیکال فوق (رادیکال بیر –مککوی و بیر پایینی) برای هر مدول تصویری هر مدول روی یک حوزه ی صحیح تعویض پذیر نوتری با بعد کرول کوچکتر یا مساوی 1 و هر مدول روی یک حلقه ی آرتینی چپ دلخواه بر هم منطبق هستند. به خصوص در حالت اخیر دو رادیکال مذکور برابر با اشتراک تمام زیر مدول های ماکسیمال m یعنی rad(m) است. در ادامه نشان خواهیم داد که روی یک حلقه گلدی چپ اول و کراندار چپ مطالعه ی رادیکال بیر –مک کوی مدول ها به مدول های تاب دار تقلیل می یابد. به ویژه برای یک حلقه ی اول نوتری چپ و کراندار چپ با 1<(r) dim مطالعه ی رادیکال بیر –مک کوی مدول ها به مدول های تابدار متناهی تولید تقلیل می یابد . به علاوه نشان خواهیم داد که در هر مدول روی یک fbn –حلقه ی اول با 1<(r) dim و یا روی دامنه ی تعویض پذیر 1<(r) dim هر زیر مدول نیم اول اشتراکی از زیر مدول های اول کلاسیک است.