بررسی فضاهای نرمدار و ضرب داخلی احتمالی

یک فضای نرمدار احتمالی، دارای شرایط یک فضای نرمدار حقیقی است، که در آن نرم هر عضو بجای یک مقدار حقیقی در $br$، یک مقدار احتمالی در $delta$ اختیار می کند. در اینجا $delta$ مجموعه همه توابع صعودی و پیوسته چپ، که به فرم $f:br obac$ است، می باشد. که در اصطلاح به این گونه توابع، توابع توزیع توسیعی می گویند. ایده ای که برای اولین بار توسط یک ریاضیدان، بنام شرستنو در سال ???? میلادی بیان گردید. در این جانشانی نکته مورد اهمیت این است که $delta$ (بنا به دلایلی) باید یک توسیع مناسب برای $brc$ (بجای $br$) از لحاظ توپولوژی، اعمال جمع و ضرب اسکالر و ترتیب بوده و بتواند شرایط لازم در تعریف فضاهای نرمدار احتمالی را تامین نماید. در این راستا${vep_rmid rin brc}subset delta$ یک جانشانی مناسب $brc$ در $delta$ است، که خواص توپولوژیک، جمع، ضرب اسکالر و ترتیب روی آن حفظ می گردد. در واقع $vep$ تابع جانشانی از $brc$ به $delta$ می باشد. بر این اساس، که در واقع برای توسیع مفاهیم حقیقی به احتمالی، این جایگزینی انجام می گردد. در این رساله، نخست به مفهوم اندازه و انتگرال احتمالی پرداخته، و سپس به ساخت فضاهای $l^p$ انتگرالی احتمالی برای $vep_1 leq p leq vep_infty$ می پردازیم. سپس نشان می دهیم که این فضاها با نرم احتمالی تعریف شده کامل هستند.