ماتریس های منظم - یکه و ماتریس های کلین

مفهوم عنصر منظم - یکه، نخستین بار توسط ارلیچ معرفی گردید. طبق ]13[ عنصر x در حلقه r منظم- یکه است اگر و فقط اگرx=xux که u?u(r). به آسانی می توان بررسی کرد که عنصر x منظم - یکه است اگر و فقط اگر x حاصل ضرب یک عنصر خودتوان در یک عنصر یکه باشد. همانطور که از نامشان پیداست، عنصرهای منظم - یکه، منظم هستند. ارلیچ، یک حلقه را منظم - یکه نامید اگر همه عنصرهای آن منظم - یکه باشند. حلقه هایی از این نوع به طور گسترده در مبحث حلقه های فون نیومن منظم مطالعه می شوند]15، بخش4[. به طور مشابه، عنصرهای کلین در حلقه ها توسط نیکلسون معرفی شدند. در [28] عنصر x از حلقه r کلین نامیده می شود اگرx مجموع یک عنصر خودتوان و یک عنصر یکه در حلقه r باشد و حلقه r کلین است اگر همه عنصرهای r کلین باشند. چنین حلقه هایی مورد علاقه اند زیرا یک زیررده از حلقه های تبادلی در نظریه حلقه های ناجابجایی تشکیل می دهند. رابطه بین کلین بودن و منظم - یکه بودن به نظر نسبتاً دقیق و نزدیک به هم است. نیکلسون این پرسش را مطرح کرد که آیا یک حلقه منظم - یکه، کلین است؟ در [9] یا به طور صحیح تر، کامیلو و خورانا در[7] نشان دادند هر حلقه منظم - یکه، کلین است. این اثبات، پرسش نیکلسون را پاسخ می دهد اما این پاسخ به قدری کلی است که پاسخ این پرسش را نمی دهد که آیا یک عنصر منظم - یکه تنها در حلقه r کلین است. درکل اگر عنصر x?r شکل eu داشته باشد به طوری که e یک عنصر خودتوان و u یک عنصر یکه باشد که با e جابجا شود آنگاه با نوشتن f=1-e خواهیم داشت: x=f+(eu-f) کلین است، ازآنجاییکه f خودتوان است و eu-f یک یکه با معکوس eu¯^1-f (و جابجایی با f). این نشان می دهد که در هر حلقه ای که خودتوان ها مرکزی هستند (حلقه جابجایی، حلقه موضعی یا حلقه کاهش یافته) هر عنصر منظم - یکه، درحقیقت کلین است. به طور کلی تر، در ]29، قضیه 1[ نیکلسون نشان داد که اگر x?r چنان باشد که(n?1) x^n=eu=ue که e=e^2 وu?u(r) آنگاه x کلین است. این قضیه نتیجه می دهد که هر حلقه قویاً ?- منظم کلین است. به ویژه، هر حلقه آرتینی راست (حلقه متناهی) کلین است. نتیجه دیگری از هان و نیکلسون در [18] نشان می دهد که هر ماتریس (متناهی) روی یک حلقه کلین، کلین است. هدف اولیه این تحقیق نشان دادن این است که در یک حلقه ناجابجایی، عنصرهای منظم - یکه، لزوماً کلین نیستند. به طور طبیعی بهترین مکان برای جستجوی مثال هایی برای آن، خانواده انواع مختلف حلقه های ماتریسی روی حلقه جابجایی k است. اولین تلاش، کار با حلقه ماتریس های بالامثلثیt_n (k) روی k مثال مطلوب را به وجود نمی آورد. درحقیقت، می توان نشان داد که عنصرهای منظم - یکه، همیشه در t_n (k) کلین می باشند. از این رو، حلقه های ماتریس کامل m_n (k) مورد بررسی قرار می گیرند. اولین مثال از ماتریس های مثلثی ویژه، ماتریسی به شکل a=(?(a&b@0&0)) (روی حلقه جابجایی مناسبk) است. مسأله با اثبات ضابطه کلی برای کلین بودن a=(?(a&b@0&0))، در حلقهm_2 (k) حل می گردد. از این رو، در این ضابطه، نشان داده می شود (?(1+xy &x^2@0&0)) (مشتق ماتریس کوهن در[12] ) منظم- یکه است اما روی k=k[x,y] برای هر دامنه صحیح k کلین نیست. با محدود کردن ضابطه کلین بودن برای مورد k=z نیز به طور الگوریتمی روش خیلی ساده برای تصمیم گیری کلین بودن ماتریس هایی به شکل (?(a&b@0&0)) روی حلقه z به دست می آید. به ویژه می بینیم انتخاب های (a,b)=(2,5),(13,5),(12,7),… کلین نیستند.