سیستم های هار و همریختی های روی گروپوئیدها

می خواهیم وجود یک سیستم هار پیوسته روی یک گروپوئید موضعاً فشرده، شمارای نوع دوم و با مدارهای باز (به عنوان زیر مجموعه هایی از فضای همانی ) را ثابت کنیم. با استفاده از یک نتیجه وستمن (اگر یک گروپوئید موضعاً فشرده، سیستم هار پیوسته داشته باشد، آنگاه نگاشت برد باز است) نتیجه می گیریم که نگاشت برد از هر گروپوئید موضعاً فشرده ی شمارای نوع دوم با مدارهای باز، باز است. آنتونی کارل سدا ثابت کرده که اگر ‎g‎ موضعاً متعدی باشد، آنگاه هر سیستم هار روی g‎ پیوسته است. ژان رنو‎ ثابت کرده که اگر g‎ کلاً نامتعدی (مانند کلافی از گروهها) و نگاشت کلافی باز باشد، آنگاه سیستم هار پیوسته ای روی ‎g‎ موجود است. ما تعمیمی از این نتایج را ارائه می دهیم. می خواهیم نشان دهیم اگر ‎g‎ گروپوئید موضعاً فشرده با ‎g^{0}‎ پیرافشرده باشد ونگاشت برد‎ باز باشد، آنگاه پیوستگی سیستم هار معادل با پیوستگی همریختی های معینی روی گروپوئید است. این همریختی ها روی فضای همانی پیوسته اند. اگر ‎g‎ موضعاً متعدی باشد از پیوستگی یک همریختی روی فضای همانی، پیوستگی روی ‎g‎ نتیجه میشود. اگر g‎ کلاً نامتعدی باشد، در این صورت این همریختی ها صفر هستند. بنابراین در هر دو حالت (موضعاً متعدی و کلاً نامتعدی) وجود یک سیستم هار پیوسته نتیجه می شود. هر گروپوئید g‎ یک رابطه ی هم ارزی روی فضای همانی g^{0}‎ تعریف می کند. نمودارr ‎ از این رابطه ی هم ارزی یک گروپوئید است که به آن گروپوئید مقدماتی مرتبط با g‎ گفته می شود. اگر g‎ یک گروپوئید توپولوژیک باشد آنگاه می توانیم ‎r‎ را به توپولوژی خارج قسمتی القایی از ‎g^{0}*g^{0}‎ مجهز کنیم. اگر توپولوژی روی g‎ موضعاً فشرده باشد آنگاه توپولوژی حاصلضربی رویr ‎ موضعاً فشرده است اگر و فقط اگر نمودار رابطه ی هم ارزی موضعاً بسته باشد. از طرف دیگر اگر r‎ را به توپولوژی حاصلضربی القایی از ‎g^{0}*g^{0}‎ مجهز کنیم وجود یک سیستم هار روی ‎g‎ لزوماً وجود یک سیستم هار روی ‎r‎ را نتیجه نمی دهد. می خواهیم ‎r‎ را به توپولوژی خارج قسمتی از g‎ مجهز کنیم و فرض خواهیم کرد که تحدید نگاشت برد به کلاف گروه های ایزوتروپیg ‎ باز است. ثابت خواهیم کرد که توپولوژی خارج قسمتی موضعاً فشرده است و وجود یک سیستم هار روی ‎g‎ با وجود یک سیستم هار روی ‎r‎ معادل است. با استفاده از معادل بودن پیوستگی سیستم هار و پیوستگی همریختی های معینی روی گروپوئید، پاسخ منفی به سوال مطرح شده توسط ک. مکنزی‎ می دهیم که می پرسد:" اگر‎ یک همریختی گروپوئیدی بین h و g باشد که در آن ‎h‎ و ‎g‎ گروپوئیدهای توپولوژیک هستند. آیا از پیوستگی این همریختی‎ روی یک همسایگی فضای همانی ‎g‎ می توان پیوستگی ‎آن‎ روی ‎g‎ را نتیجه گرفت؟‎".