بررسی متناهی بودن زنجیرها از حلقه های میانی

فرض کنید d یک دامنه صحیح با میدان کسرهای k و بستار صحیح باشد. یک زبرحلقه ی d یک زیرحلقه از k و شامل d است، و o(d) نماد مجموعه زبرحلقه های d است. هدف در این پایان نامه بررسی شرایط متناهی رویo(d) و سپس تعمیم آن به توسیع های دلخواه است. ابتدا به بررسی متناهی بودن مجموعه o(d) و سپس به متناهی بودن زنجیرها در o(d) می پردازیم، در حالت اول d را یک fo- دامنه و در حالت دوم آن را یک fc – دامنه می نامیم. هدف اصلی در فصل دو این پایان نامه، رده بندی fo و fc- دامنه ها و ارتباط این دو مفهوم با هم است. در واقع نشان خواهیم داد که هرگاه d یک دامنه بسته صحیح باشد، آن گاه شرایط زیر معادل اند: (1) d یک fo – دامنه است؛ (2) d یک fc- دامنه است؛ (3) d یک دامنه پروفر با تعداد متناهی ایدال اول است. هم چنین نشان می دهیم که دامنه صحیح d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر یک fc- دامنه باشد و هر زنجیر از زیرحلقه های که شامل d هستند، متناهی باشد. سپس نشان می دهیم که هرگاه d یک دامنه صحیح با بستار صحیح باشد و c هادی d در باشد، آن گاه d یک fc- دامنه است اگر و تنها اگر شرایط زیر برقرار باشند: (1) یک دامنه پروفر با مجموعه ایدال های اول متناهی باشد؛ (2) یک d- مدول متناهی باشد؛ (3) d/c یک حلقه آرتینی باشد. به طور مشابه قضیه هایی را برای fo- دامنه ها بیان می کنیم. سپس به تعمیم این مفاهیم برای توسیع های دلخواه از حلقه های تعویض پذیر می پردازیم. توسیع که هر زنجیر از حلقه های میانی دارای طول متناهی باشد را ficp- توسیع می نامیم و نشان خواهیم داد که این نوع توسیع ها نسبت به موضع سازی و خارج قسمت بسته اند. هم چنین در حالت های خاص نشان خواهیم داد که ficp یک ویژگی موضعی است. به طور مشابه به تعمیم قضیه های fc- دامنه ها به ficp- توسیع ها خواهیم پرداخت.