بررسی رفتار دینامیکی t-سیستم

نظریه معادلات دیفرانسیل دارای سابقه ی طولانی است که با تحقیقات نیوتن‎‎ آغاز شد. نیوتن قادر به حل مسئله ی دو جسم (حرکت زمین به دور خورشید) گردید و نتیجه این بود که نیروی جاذبه ی گرانش متناسب با عکس مجذور فاصله بین آن هاست. تلاش ریاضی دان ها و فیزیک دان ها برای تعمیم مسئله به سه جسم (خورشید، زمین، ماه) منجر به فهم این نکته شد که حل مسئله ی سه جسم اساساً غیرممکن است. تلاش برای یافتن پاسخ مسئله، زمانی به اوج خود رسید که این سوال مطرح شد: " آیا منظومه ی شمسی پایدار است؟ " در اواخر سال ‎1800‎ میلادی شخصی به نام هانری پوانکاره‎ ‎ با دید جدیدی به مسئله نگریست و مسئله ی پایداری یا ناپایداری سیستم خورشیدی را مورد توجه قرار داد و امکان بروز آشوب را مطرح ساخت. اما متأسفانه تا قرن بیستم توجه چندانی به مسئله ی آشوب نشد. یکی از ویژگی های اساسی سیستم های آشوبی، حساس بودن آن ها نسبت به شرایط اولیه است در واقع نظریه ی آشوب، مرتبط با سیستم هایی است که دینامیک آن ها نسبت به تغییر مقادیر اولیه، رفتار بسیار حساسی نشان می دهند، به طوری که رفتار آینده ی آن ها دیگر قابل پیش بینی نیست. این سیستم ها از نوع سیستم های دینامیکی غیرخطی هستنند.‎ با کشف کامپیوترهای با سرعت بالا در اواخر دهه ‎1950‎ میلادی، دانشمندان توانستند معادلاتی را حل کنند که قبل از آن ممکن نبود و لذا درک و آگاهی در مورد سیستم های غیرخطی افزایش یافت، در نتیجه پیشرفت در سیستم های آشوبی موفقیت های بزرگی را پدید آورد ‎. در سال ‎1963‎ ادوارد لورنز‎ با معرفی یک سیستم آب و هوایی آشوبی گام مهمی در این زمینه برداشت ‎. در سال ‎1999‎ چن‎‎ و یوتا‎ دوگان سیستم لورنز را معرفی کردند ‎و در سال ‎2002‎ لو‎‎ و چن سیستمی بین چن و لورنز کشف کردند ‎‎. بعد از آن افراد دیگری در این زمینه به موفقیت هایی دست یافتند که می توان به سیستم لیو‎‎، سیستم جدید شبه لورنز‎‎ و پن‎‎ سیستم اشاره کرد. اخیراً تایگان‎‎ سیستم دینامیکی سه بعدی به نام ‎ -‎t ‎سیستم را که بسیار شبیه به سیستم لورنز است معرفی کرد که در این پایان نامه به بررسی آن می پردازیم .‎ ازجمله مسائلی که آشوب را مورد توجه قرار می دهد نوسانگــرهای غیرخطی و کاربرد آن ها در فیــزیک و علوم مهنــدسی از جمله لیــزر، رادار و رادیــو است. در سال های اخیر آثار تجربی آشوب در سیال ها، مدارهای الکتــرونیکی، نوسانگرهای مکانیــکی و نیمه رساناها بررسی شدند ‎. ‎‎ این پایان نامه شامل ‎3‎ فصل است. در فصل اول، ابتدا به بیان تعاریف و مفاهیم مقدماتی مورد نیاز دیگر فصل ها می پردازیم. سپس محک راث - هورویتز‎را معرفی می کنیم و در نهایت توضیحات مقدماتی از منیفلد مرکز و فرم نرمال ارائه می دهیم‎.‎ در فصل دوم، به معرفی سه سیستم دینامیکی می پردازیم. این سیستم ها عبارتند از سیستم لورنز، چن و لو، که این سیستم ها را با توجه به ماتریس خطی سازی شده ی ‎ دسته بندی می کنیم. علاوه بر این در هریک از سیستم ها به بررسی نقاط تعادل و شرایط موجود برای داشتن انشعاب هپف یا چنگال می پردازیم. همچنین قضایایی در این زمینه بیان و اثبات می کنیم. در فصل سوم، سیستم جدیدی به نام ‎‎ -‎t ‎سیستم معرفی می شود که پس از به دست آوردن نقاط تعادل آن به بررسی انشعاب هپف و چنگال می پردازیم و با استفاده از قضیه ی فرم نرمال، مسیر انشعاب هپف و پایداری جواب های منشعب شده از آن را مشخص می کنیم. در فصل دو و سه نتایج عددی را با استفاده از نرم افزار ‎matcont‎ ارائه می دهیم.