یک روش بی نیاز از شبکه برای مسایل همرفت-پخش

روش های ذره ای یک دسته از روش های بی نیاز از شبکه را تشکیل می دهند که در سال های اخیر مورد توجه محققان زیادی قرار گرفته اند. از محاسن این روشها سادگی در پیاده سازی است که کار در نواحی بزرگ را ساده کرده است. وارد کردن شرایط مرزی مسأله معضلی است که عمده این روش ها از آن رنج می برند. روش هیدرودینامیک ذره ای هموار شده (sph) از معروف ترین این روش هاست که در سال 1977 توسط لوکی و سپسگینگولد و موناگان جهت کار در مسایل ستاره شناسی معرفی شد. از آنجایی که حرکت ستارگان مشابه با جنبش مایعات و حرکت گازهاست، این روش به زودی در مکانیک سیالات نیز مورد استفاده قرار گرفت. مشکلات ناشی از وارد کردن شرایط مرزی در این روش منجر به تحقیقات زیادی شد که روش هیدرودینامیک ذره ای هموار شده اصلاح شده از اولین نتایج این تلاشهاست. در نهایت در سال 199? لیو با معرفی روش ذره ای بر اساس هسته ی بازیافتی (rkpm) انقلابی در روش های ذره ای به پا کرد. سادگی در پیاده سازی و دقت بالا در وارد کردن شرایط مرزی، این روش را به یکی از محبوب ترین روش ها در سال های اخیر تبدیل کرده است. محققانی همچون هان و چن نیز کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام داده ند. در میان محاسن بی شماری که برای این روش می توان بر شمرد این روش از مشکلی بزرگ رنج می برند. زمانی که شبکه یکنواخت نباشد دقت جواب به شدت کاهش پیدا می یابد. همچنین نمی توان بدون در نظر گرفتن ملاحظاتی شبکه را تشکیل داد. این روش را می توان به دو گروه تقسیم کرد: روشی که با فرم انتگرالی معادله کار می کند که به روش گالرکین بی نیاز از شبکه معروف است و روشی که با صورت قوی معادله دیفرانسیل کار می کند. در این پایان نامه سعی بر این داشته ایم که روش ذره ای بر اساس هسته ی بازیافتی مورد بررسی قرار بگیرد. موضوع اصلی این پایان نامه استفاده از این روش در صورت قوی معادله دیفرانسیل است. ولی برای کامل بودن موضوع و جلوگیری از گمراهی خواننده استفاده از صورت ضعیف نیز معرفی شده است. در فصل دوم به اختصار به معرفی روش sph می پردازیم. از آنجایی که این روش پایه به وجود آمدن روش rkpm است، معرفی این روش برای خواننده خالی از لطف نیست. انواع مفاهیم در مدل سازی به وسیله ی sph محاسن و معایب آن بررسی شده اند. در بخش آخر نیز به ارایه راهکار برای مشکلات می پردازیم. فصل سوم را به توضیح کامل و دقیق ایده ی روش rkpm و چگونگی کار آن پرداخته ایم. تکنیک های مختلف برای پیاده سازی روش در این فصل ارایه شده است. بررسی خطای درونیابی و ملاحظات لازم برای تولید شبکه در این روش یکی از بخش های مهم این فصل است. روش rkpm با استفاده از صورت ضعیف به اختصار معرفی شده است و خطای آن را نیز بررسی کرده ایم. در فصل چهار هسته های ثابتی معرفی شده اند که برای حل عددی معادلات در این پایان نامه از آنها استفاده شده است. با استفاده از مثال های مختلف دقت بالای این هسته ها را در درونیابی توابع بع روش rkp بررسی کرده ایم. در فصل پنج به بررسی و حل مسایل لایه مرزی پرداخته ایم. ابتدا مسیله ی همرفت-پخش و چگونگی پیاده سازی روش برای آن بررسی شده است. سپس مسأله ی هیدرودینامیک مغناطیسی برای نشان دادن چگونگی پیاده سازی روش در دستگاه های معادلات بررسی شده است. در پایان هر بخش با بررسی مثال های متنوع کارایی روش بررسی شده است. در نهایت فصل شش به مسایل بیضوی اختصاص یافته است. همانند فصل قبل ابتدا مسأله ی لاپلاس به عنوان یک معادله ی بیضوی و سپس مساله ی کشسان یکنواخت به عنوان دستگاه معادلات بیضوی حل شده است. به چگونگی استفاده از روش در ناحیه ی نامنظم نیز پرداخته ایم.