بررسی رویه های ریمان فشرده و یکنواخت سازی انها

رویه های ریمان، رویه های حقیقی جهت پذیری می باشند که در واقع یک ساختار مختلط روی آنها قرار داده شده است. پوانکاره در سال 1907 یک رده بندی برای رویه های ریمان را مطرح نمود که به قضیه یکنواخت سازی مشهور است. در قضیه یکنواخت سازی رویه های ریمان، نشان داده می شود که هر رویه ریمان همبند ساده، هم ارز همدیس با s2، h2 و یا c ‎ می باشد که اولین نتیجه آن این است که هر رویه ریمان ایزومتریک با یک فضای خارج قسمتی بصورت x/g ‎ است که در آن g یک زیر گروه از ایزومتری های جهت نگهدار x‎ است. همچنین نتیجه ثانویه آن نیز این است که تمام رویه های ریمان بسته، عبارت اند از s2 (کره ریمان)، t2 (چنبره دو بعدی)، و یا جمع مستقیم تعداد متناهی t2، یعنی ?t2? t2...? t2‎در این پایان نامه ضمن جمع آوری و مطالعه مقدماتی رویه های ریمان، و بخصوص رویه های ریمان فشرده، رده بندی رویه های ریمان فشرده و یکنواخت سازی آنها نیز مورد مطالعه قرار خواهند گرفت‎. فصل اول پایان نامه به تعاریف و احکام اولیه اختصاص یافته است. دربخش اول این فصل ضمن ارائه تعریفی از رویه ریمان، مفاهیمی چون هلومرفیک و دوهلومرفیک بودن را نیز بیان می کنیم. در بخش دوم نیز ضمن معرفی تبدیلات موبیوس، آنها را برحسب نقطه ثابت و اثر آنها به سه دسته سهموی، هذلولوی، و بیضوی کلاس بندی می کنیم. و دربخش سوم نیز عمل گروه روی فضای توپولوژیک را تعریف می کنیم.‎ در فصل دوم نیز به بررسی گروه های فوخسی خواهیم پرداخت و عمل های گروهی، مانند عمل آزاد، ناپیوسته، ناپیوسته ویژه مورد بررسی قرار می گیرند و در نهایت قضیه یکنواخت سازی رویه های ریمان مطرح خواهد شد. این قضیه بیان می کند که هر رویه ریمان را می توان بصورت یک فضای خارج قسمتی حاصل از یک فضای پوششی و زیرگروهی از ایزومتری های جهت نگهدار آن بیان نمود. ‎ در فصل سوم نیز که هدف اصلی این پایان نامه می باشد به بررسی رویه های ریمان فشرده خواهیم پرداخت و نشان خواهیم داد که هر رویه ریمان فشرده را می توان از یک چند ضلعی با تعداداضلاع زوج بدست آورد. در این فصل همچنین رویه های ریمان فشرده را رده بندی خواهیم کرد و نشان خواهیم داد که هر رویه فشرده با s2، t2 و p2 ‎و یا جمع همبند(مستقیم) آنها در دو مورد اخیر هومئومرفیک است. نهایتاً نیز رویه های ریمان فشرده را یکنواخت سازی خواهیم نمود. ‎ ?