بررسی تصحیحات کنش چرن-سیمونز در مرتبه alpha)^2)

به کمک مبحث همزادی t جفت شدگی های چرن-سیمونز خطی از یک میدان rr و یک میدان nsns ارائه شده اند، سپس با جایگذاری c با c e^b و بسط نمایی می توان جفت شدگی های مرتبه بالاتر از میدان b را در نظریه میدان وارد نمود. به کمک رهیافت -sماتریس این جفت شدگی ها حاوی یک میدان rr و دو میدان b را بررسی کردیم. در این بحث تنها برای درجه خاصی از میدان rr ،c^(p-3) محاسبات را ارائه کردیم. در فصل ‎4‎ با انتخاب p=4,5، تمامی ساختارهای ممکن ادغام متشکل از تکانه و قطبش را بدست آوردیم، با این حال، نتیجه قابل تعمیم به p کلی و تعداد یکسانی اندیس عرضی است. در ادامه فصل ‎4‎ محاسبات برای مقادیر m=6,8 انجام شد. برای وضعیت دو گرویتون حاصل دامنه پراکندگی صفر شد. از طرفی محاسبات –sماتریس برای یک گرویتون و یک b ، منجر به انتگرالده موهومی می شود و در نتیجه حاصل انتگرال صفر است. نشان دادیم نتایج بدست آمده برای دامنه، اتحاد وارد مربوط به میدان های b را براورده می کنند. برقراری اتحاد وارد مربوط به پتانسیل rr ، منجر به یافتن روابط بین انتگرالهای موجود در دامنه می شود. شکل ناوردا تحت تبدیلات rr خطی برای دامنه را پیدا کردیم که با نتیجه محاسبه مستقیم در تصویر (2/1- ،2/1-) در توافق کامل است. انجام انتگرالگیری زاویه ای در حالت کلی پیچیده است، ولی برای پیکربندی خاص از متغیرهای مندلستم، با صفر قرار دادن p_2 . p_3 و p_2 .d. p_3 می تواند انجام شود. از آنجایی که انتگرال ها محدود هستند، یعنی در p_2 . p_3و p_2 .d. p_3 قطب ندارند، بکار بردن این پیکربندی معتبر است. از طرف دیگر توانستیم روابط بین انتگرال ها را که با شرط برقراری اتحاد وارد بدست آوردیم، با این انتخاب خاص متغیرهای مندلستم بررسی کنیم. با بسط دادن حاصل انتگرال ها بر حسب تکانه، مشاهده شد فقط قطب ریسمان باز بدون جرم وجود دارد و جمله برهم کنش نداریم. نشان دادیم این مطلب در توافق با جفت شدگی های ذکر شده سازگار با دوگانگی t در نظریه میدان است. در فصل ‎5‎ دامنه پراکندگی مرتبه دیسک عملگرهای رأس یک rr و دو nsns وقتی پتانسیل rr، اندیس های جهان حجم دارد را بررسی کردیم. برای این منظور اسکالر rr را در نظر گرفتیم ولی تعمیم به pکلی سر راست است. هدف یافتن قطب های ریسمان باز و جملات برهم کنش می باشد که جفت شدگی های یک rr و دو میدان b به d-شامه را معین می کنند. در حالیکه قطب های ریسمان بسته که جفت شدگی های ابر گرانش در فضای کپه ای را می دهند را در نظر نگرفتیم. نتایج بدست آمده برای دو تانسور متقارن، که قبلا پیدا شده اند را باز تولید کردیم، وقتی اندیس های تانسور های قطبش گرویتون با جهان حجم فرم یا با تکانه ادغام می کنند، در این حالت اگر مختصه نابود کننده، یک اندیس پتانسیل rr باشد، جملات تحت همزادی t خطی ناوردا هستند. اما هنگامیکه مختصه نابود کننده، یک اندیس تانسور قطبش گرویتون است، همزادی t عبارات را به rr فرم درجه بالاتر مربوط می کند. از طرف دیگر اگر یکی از اندیس های تانسورهای قطبش گرویتون با هم ادغام شوند، در این صورت جملات تحت همزادی t ناوردا نیستند، مشاهده می شود وجود جفت شدگی های تانسور پادمتقارن که مشابها تحت همزادی t ناوردا نیستند، عاملی است که جفت شدگی های گرانشی را ناوردا می سازند. هر چند دامنه برای دو تانسور پادمتقارن جملات بسیار بیشتری از آنچه برای ناوردا ساختن جفت شدگی های گرانشی تحت t لازم است، دارد. این جفت شدگی ها که تحت همزادی t خطی ناوردا هستند می توانند با بررسی انتگرال های موجود در دامنه بدست آورده می شوند. بعد از یافتن دامنه، سعی کردیم تا نشان دهیم دامنه، اتحاد وارد مربوط به میدان rr و میدان های bرا براورده می کند. لزوم برقراری اتحاد وارد مربوط به میدان b منجر به یافتن روابط بین انتگرال های موجود در دامنه می شود. البته برای یک پیکربندی محدود از متغیرهای مندلستم، می توان انتگرال ها را محاسبه کرد و به طور صریح صحت این روابط بین انتگرال ها را بررسی نمود. می توان با استفاده از این روابط نشان داد که اتحاد وارد برای میدان rr برقرار است. به عبارت دیگر توانستیم با به کار گرفتن این روابط، دامنه را بر حسب شدت میدان rr بنویسیم، از طرفی این نتیجه دقیقا با نتیجه حاصل از تصویر (2/1- ،2/1-) که دامنه را مستقیما بر حسب f می دهد، یکسان می شود. سپس به کمک این روابط دامنه بر حسب شدت میدان های h بازنویسی کردیم. در نتیجه مشاهده شد جفت شدگی هایی وجود دارند که متناسب با متغیرهای مندلستم هستند، و چون اندیس های ادغام یافته، اندیس های تکانه نیستند، بنابراین آن ها تحت همزادی t خطی ناوردا نمی باشند، ولی ترکیب آن ها با جملات متناظر در دامنه گرانشی، یک دامنه همزاد t تولید می کند. معلوم شد دامنه می تواند بر حسب h یا برحسب شدت میدان rr نوشته شود. یعنی جفت شدگی های نظریه میدان که تحت تبدیلات پیمانه ای میدان b ناوردا هستند، تحت تبدیل پیمانه ای rr ناوردا نمی باشند. ترکیب جفت شدگی های نظریه میدان وقطب های ریسمان باز و بسته بدون جرم در هر مرتبه alpha تحت تبدیل پیمانه ای rr ناوردا است. برای یافتن حد انرژی پایین دامنه نظریه ریسمان، نیاز به محاسبه انتگرال ها است. محاسبه انتگرالگیری زاویه ای برای ساختار سینماتیکی ویژه ای که قبلا ذکر شد، قابل انجام است. دامنه نظریه میدان مورد ملاحظه دارای قطب بدون جرم در این کانال p_2. p_3 نیست. به علاوه کانال ریسمان باز یا بسته متناظر با متغیر مندلستم p_2 .d. p_3 وجود ندارد. اگر چه دامنه، دارای قطب بدون جرم در کانال p_2. p_3 نیست، ولی انتگرالی در دامنه پدیدار می شود که در این پیکربندی متغیرهای مندلستم نامحدود می شود، در نتیجه قطب بدون جرم در p_2 . p_3 دارد، بنابراین نمی توان چنین جملاتی که متناسب با p_2 . p_3 هستند را صفر قرار داد. هر چند، با نوشتن دامنه برحسب h، انتگرال دارای قطب حذف می شود. سپس با استفاده از بسط تابع بتا و توابع فوق هندسی حاصل از حل انتگرال ها، جملات برهم کنش و قطب های ریسمان باز بدون جرم بدست می آیند. در نوشتن جملات برهم کنش، ثوابت در بسط انتگرال ها جملات برهم کنش را می دهند و نتیجه، مستقل از p_2 . p_3 یا p_2 .d. p_3 است، پس این جملات برهم کنش در حالت کلی معتبر هستند. هر چند در یافتن قطب های ریسمان باز بدون جرم ممکن است بعضی قطب های ریسمان باز بدون جرم متناسب با p_2 .v. p_3 و p_2 .n. p_3 وجود داشته باشند که صفر قرار داده ایم. نشان دادیم جملات برهم کنش قطب های ریسمان باز بدون جرم از دامنه ریسمان در مرتبه (alpha)^2 ، توسط جفت شدگی های مناسب در نظریه میدان می توان باز تولید کرد. جفت شدگی های حاوی (f b+2 pi (alpha)) به صورت قطب های ریسمان باز بدون جرم ظاهر می شوند. چون دامنه ریسمان باز بدون جرم، شامل جملاتی متناسب با p_2 .v. p_3 و p_2 .n. p_3 نیست، محاسبه بالا نمی تواند ضریب تمام جفت شدگی های مشتق بالاتر حاوی (f b+2 pi (alpha)) که متناسب با p_2 .v. p_3 هستند، را ثابت کنند. این جفت شدگی های متناظر با قطب های ریسمان باز بدون جرم می تواند از حد انرژی پایین المان s- ماتریس از عملگرهای رأس یک rr ، یک میدان b و یک میدان پیمانه ای ریسمان باز نیز استخراج گردد که برای پیکربندی سینماتیکی کلی قابل محاسبه است. بعضی قطب های ریسمان بسته بدون جرم در مرتبه (alpha)^2 بر حسب h می باشند، با این وجود، این قطب ها تحت تبدیلات پیمانه ای rr ناوردا نیستند. در ابرگرانش تبدیل پیمانه ای rr از پتانسیل n-فرم با تبدیل پیمانه ای -(n-2) فرم حذف می شوند. بنابراین انتظار نداریم اتحاد وارد متناظر با یک پتانسیل rr در قطب های ریسمان بسته بدون جرم برقرار باشد. دامنه ریسمان در مرتبه (alpha)^2 مساوی مجموع دامنه های ریسمان بسته بدون جرم، دامنه ریسمان باز بدون جرم و جملات برهم کنش، تحت تبدیل پیمانه ای rr ناوردا می باشد. معلوم شده است که با در نظر گرفتن تمام جملات برای p_2 . p_3 غیر صفر ، کنش چرن-سیمونز خطی در نظریه میدان جملات اضافی پیدا می کند که باعث می شوند دامنه تحت تبدیلات rr ناوردا شود. بعضی از جملات برهم کنش با شرط اینکه جفت شدگی چرن-سیمونز، تحت همزادی t خطی ناوردا باشند و با شرط اینکه جفت شدگی های جدید تحت تبدیل پیمانه ای میدان b ناوردا باشند، بدست آمده اند. هر چند اگر یکی از اندیس های میدان b که با جهان فرم ادغام می شود، مختصه نابود کننده باشد، این جفت شدگی ها تحت همزادی t خطی ناوردا نیستند. در این حالت باید جفت شدگی های جدیدی از پتانسیل rr درجه بالاتر اضافه شود تا یک چندگانه همزاد t کامل ساخته شود. این جفت شدگی های جدید، هموردا یا ناوردا تحت تبدیلات پیمانه ای b نیستند. بنابراین باید چندگانه های همزاد t دیگری نیز اضافه شوند. با روش s- ماتریس، جفت شدگی های جدیدی هم بدست می آیند. بنابراین با تعمیم محاسبات s- ماتریس در این بحث به حالت هایی با n=p-1، n=p+1 و n=p+3 می توان تمامی جفت شدگی های غیر صفر را بدست آورد. همچنین می توان جفت شدگی های مرتبه (alpha)^3 و بیشتر در بسط های بدست آمده را به منظور یافتن جملات برهم کنش در مراتب مشتق بالاتر مورد بررسی قرار داد.