حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای با روش های مرزی

رفتار دستگاه های فیزیکی اغلب توسط معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای مدل سازی می شوند و جواب تحلیلی این مسایل فقط در حالت های خاص وجود دارد. بنابراین استفاده از روش های عددی برای حل این گونه مسایل اجتناب ناپذیراست. روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره ای را می توان به دو دسته ی روش های وابسته به دامنه و روش های مرزی تقسیم بندی کرد. روش تفاضلات متناهی ، روش عناصر متناهی و روش حجم های متناهی نمونه هایی از روش های وابسته به دامنه هستند و روش عناصر مرزی، روش نقاط مرزی و روش گالرکین مرزی بی نیاز از شبکه نیز نمونه ای از روش های مرزی هستند. تبدیل معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی اساس روش های مرزی است. با این تبدیل بعد مساله کاهش می یابد و تولید شبکه که در روش_های وابسته به دامنه هزینه بر است، با هزینه بسیار کمتر تولید می شود. از مهم ترین مزایای این روش ها حل مسایل با دامنه نامتناهی و دامنه نیمه نامتناهی است. روش های وابسته به دامنه در حل این نوع مسایل با مشکلات زیادی مواجه هستند. حل مسایل با دامنه نامتناهی و مرز منتاهی با روش های مرزی هزینه ای معادل با حل مسایل با دامنه های متناهی را دارد. در برخی از مسایل فیزیکی هدف به دست آوردن مقدار مجهول در دامنه نیست. در این مسایل کافیست مقادیر مجهول روی مرز مشخصشود. در روش های مرزی ابتدا کلیه مقادیر مجهول روی مرز را به دست می آوریم. بنابراین این روش ها در حل چنین مسایلی نیز کاربرد دارند. روش های مرزی اغلب دقت بهتری نسبت به سایر روش ها دارند. این روش ها مشتقات توابع مجهول را نیز با دقت مناسبی تقریب می زنند. با وجود مزایای بیان شده برای این روش ها، پیشرفت در سایر روش ها سریع تر است. یکی از علت کند بودن پیشرفت روش های مرزی را می توان آنالیز پیچیده در این روش ها دانست. معادلات انتگرال مرزی به دست آمده از معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای دارای هسته تکین هستند و برخی از این انتگرال ها در حالت توزیعی قابل تعریف هستند. برای بررسی چنین انتگرال هایی نیاز به مبحث عملگرهای شبه دیفرانسیلی است که در سال های اخیر توسعه یافته و برای بسیاری از ریاضیدانان و مهندسین ناآشناست. تبدیل معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی، به کمک جواب اساسی معادله دیفرانسیل صورت می گیرد. جواب اساسی معادلات دیفرانسل غیر خطی و معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر در حالت کلی در دسترس نیست و این روش ها در حل این گونه معادلات با مشکل مواجه خواهند شد. ترکیب روش های مرزی و روش_های وابسته به دامنه در حل این گونه مسایل می تواند مفید باشد. یکی دیگر از معایب این روش ها وجود راه های متفاوت برای تبدیل یک معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره ای به معادله انتگرال مرزی است که هر کدام نیز معادله انتگرال متفاوتی را به دست می آورند. برای برخی از این معادلات هیج گونه آنالیز خطایی وجود ندارد و نتایج تجربی، همگرایی این روش ها را تضمین می کند. در سال های اخیر دسته جدیدی از روش ها با عنوان روش های بی نیاز از شبکه مطرح شدند. در این روش ها با در نظر گرفتن نقاط پراکنده روی دامنه و مرز آن از تولید شبکه جلوگیری می شود. تولید شبکه در روش های وابسته به دامنه باعث ایجاد مشکلات زیادی می شود و به همین دلیل کارایی روش های بی نیاز از شبکه بیشتر در روش های وابسته به دامنه دیده می شود. با در نظر گرفتن توابع پایه تقریب کمترین مربعات متحرک به عنوان توابع آزمون و محک در روش گالرکین مرزی، روش نقاط مرزی گالرکین بی نیاز از شبکه را خواهیم داشت