روش های سینک برای حل معادلات دیفرانسیل تکین

روش های سینک برای حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات جزئی به طور گسترده بررسی شده و کارائی آن، مخصوصا برای مسائل منفرد و مسائل با دامنه نامتناهی نشان داده شده است. روش های سینک کاربردهای فراوانی در علوم کاربردی مانند انتقال حرارت، رشد جمعیت، مکانیک سیالات، کنترل بهینه، مساله معکوس و تصویر برداری پزشکی دارد. اساس تقریب سینک بر تابع کاردینال ویتاکر استوار است. برتری این روش نسبت به سایر روش های عددی در مسائلی که نقطه تکین دارند مشخص می شود. رشد همگرایی در این روش برای تقریبn نقطه به صورت o(exp?(-c?n)) است، که در آنc ثابت است. روش های تقریب سینک خانواده جدیدی از فرمول ها را برای محاسبات جواب مسایل ارائه می دهد. این فرمول ها ما را قادر می سازند که بتوانیم تقریب هایی با دقت مناسب برای انواع عملیات مانند تقریب مشتق و انتگرال توابع و... به دست آوریم. مدل سازی ریاضی بیماری ها یکی از روش های موثر برای درک دینامیک بیماری ها است. این مدل ها اغلب دستگاه های معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه یک هستند. بررسی فرضیه های مختلف بر اساس داده های کلینیکی بیماری ها اغلب بسیار مشکل است زیرا نمی توان به تعداد زیادی از بیماران دسترسی پیدا کرد و یا تکنیک های اندازه گیری ویروس ها دقیق نیستند. بنابراین مدل های ریاضی در این حوزه بسیار مهم هستند. یکی از راه های تحلیل و پیش بینی در مورد بیماری ها شبیه سازی های عددی است. با توجه به این که روش سینک تاکنون برای حل دستگاه های معادلات ارائه نگردیده است در این تحقیق دنبال آن هستیم که روش سینک را برای به کارگیری در حل سیستم های دینامیکی تعمیم دهیم. در فصل دوم روش های طیفی به اختصار معرفی می شوند. در فصل سوم ضمن معرفی پیش زمینه تئوری توابع سینک و ویتاکر، به معرفی فرمول ها و قضایای تقریب های سینک و روش های طیفی با پایه های سینک خواهیم پرداخت. در ادامه روش سینک گالرکین و سینک هم محلی برای حل مسائل مقدار مرزی ارائه می شوند. جهت حل مسائل مقدار اولیه لازم است قدری در پایه های این روش تغییر ایجاد شود. لذا با تغییر این پایه ها روش سینک برای حل مسائل مقدار اولیه تعمیم داده می شود و در انتهای فصل سوم با ارائه مثال های مختلفی از مسائلی که دارای تکینی در خود معادله و یا تکینی در جواب هستند روش های سینک گالرکین و هم محلی و روش گالرکین با هم دیگر مقایسه خواهند شد‎.‎ در فصل چهارم پس از ارائه مفاهیم اولیه مربوط به تحلیل های پایداری، دو مدل ریاضی مورد بررسی قرار می گیرد. مدل بیماری های ویروسی درون میزبان و مدل جمعیت بیماری ببیزیوسیز در گاوها و کنه ها و سپس روش سینک تعمیم یافته چندگامی ارائه می گردد و در نهایت با شبیه سازی های عددی، مثال های متنوعی مورد مطالعه قرار می گیرند