ضربگرهای طولپا از فضای l^p(g,x

g را یک گروه موضعاً فشرده با یک اندازه هار راست ثابت و x را یک فضای باناخ تفکیک پدیر در نظر بگیرید، l^p(g,x) فضای توابع اندازه پذیر x، مقدار می باشد که توابع نرم آنها l^p معمول و عادی هستند، یک ضربگر چپ l^p(g,x) یک عملگر خطی کراندار روی l^p(g,x) است که با تمام انتقال های چپ جابه جا می شود با این فرض که l^p- جمع مستقیم از دو زیر فضای غیر صفر نیست، از خاصیت ایزومتری های l^p(g,x) روی خودش برای مشخص کردن و توصیف کردن ضربگرهای چپ، معکوس پذیر، ایزومتریک، l^p(g,x) برای p?q و 1?p<? استفاده می کنیم و در واقع ما ثابت می کنیم که اگر t یک ضربگر چپ، ایزومتریک و l^p(g,x) روی خودش است. پس یک y?g و یک ایزومتری u از x به روی خودش وجود دارد به طوری که tf(x)=u(r_y f)(x) برای f?l^p(g,x. .به صورت عملی ضربگرهای ایزومتر چپ از و طوریکه g غیر فشرده و ، -حاصلجمع مستقیم از زیر فضای غیر صفر نیست را تعیین می کنیم. اگر g یک گروه آبلی فشرده و h یک فضای هیلبرت تفکیک پذیر باشد ما تعریف می‍ کنیم جاییکه دوگان گروه g است. ما ضربگرهای چپ، ایزومتریک و معکوس پذیر را تعیین می کنیم با این شرط که g فشرده نیست، در نهایت ما از خاصیت ایزومتری برای g فشرده در تعیین ضربگرهای چپ و ایزومتریک استفاده می کنیم با این شرط که x* موضعاً محدب است.