روش های طیفی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی از روشهای طیفی بر پایه چند جمله های چیبیشف استفاده میکنیم. چند جمله ایهای چیبیشف خانواده شاخص از چند جمله ایهای متعامد می باشد که به خاطر اهمیتشان در رشته های مختلف مثل ریاضی فیزیک ومهندسی کاربرد دارند. اساس کار ما این است که برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جواب معادله را با چند جمله ای چیبیشف مساوی قرار داده و معادله را به یک معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل کرده و با استفاده از روشهای رانگ کاتای مرتبه 4 معادله بدست امده را حل کنیم این روش را برای معادلات مشهوری مثل 1d burger,k dv –burger,2d burger و دستگاهی از معادلات 2d burger بررسی میکنیم. فلیتچر از تبدیلات hop-cole برای جوابهای تحلیلی این معادلات استفاده کرده و چندین روش عددی نیز برای حل این معادلات ارائه شده مثل روشهای اسپلاین کوبین, روشهای ضمنی, صریح و روشهای تجزیه آدومین . نتایج عددی بدست امده از روشهای طیفی چیبیشف دقت بهتر و سرعت همگرایی بالاتری نسبت به سایر روشها دارند این روش برای دسته بزرگی از معادلات میتواند مورد ازمون قرار بگیرد. به طور اساسی روش های طیفی به سه نوع تقسیم می شوند، به ترتیب زیر روش تاو روش گلرکین روش هم مکانی‎ در روش های طیفی انتخاب نوع روش به طور اساسی، به چگونگی کاربردشان بستگی دارد. روش های هم مکانی روی مسائل خطی و یا مسائلی که ضرایب پیچیده ای دارند، مورد بررسی قرار می گیرند. مزیت استفاده از روش های گلرکین در تحلیل برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و یا معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در دقت های بیشتر و دامنه های ساده تر و یا روی مسائلی که نقاط دامنه تعریف شده دارند، اغلب روش های طیفی بهترین انتخاب می باشندروش های طیفی می توانند از دقت ده رقم اعشار برخوردار باشند، در صورتی که این دقت در مورد روش های مولد متناهی و تفاضلات متناهی به دو یا سه رقم اعشار کاهش می یابدمناسب و تخمین خطای مطلوب است. کاربرد روش های تاو در معادلات غیر خطی زوج با شرایط مرزی غیر صفر می باشد قاعده اساسی از روشهای طیفی, نقاط مجزا داده شده روی صفحه ودرونیابی این نقاط به صورت جامع می باشدومشتق درونیابی را روی صفحه مشخص میکندبرای مسائل متناوب از درونیابی مثلثاتی درنقاط متساوی الفاصله وبرای مسائل غیر متناوب از درونیابی روی نقاط نامتساوی الفاصله استفاده می شود در حقیقت در روشهای طیفی یا نقاط صفحه را با فاصله های مساوی در نظر گرفته وبا درونیابی این نقاط جوابهای تقریبی از این نقاط بدست می اید ویا نقاط صفحه را ریشه های چندجمله ای چیبیشف گرفته وt_(j ) های این نقاط را محاسبه کرده که در حقیقت همان درونیابی نقاط هستند ویا چندجمله ایهای هرمیت و ساین دیف ولایگ دیف و سایر چند جمله ایها در حقیقت در اینجا ما برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی جواب تقریبی از معادلات را به صورت ضرایبی ازچندجملیهای چیبیشف بیان میکنیم با انتخاب گرههای چندجملهای چبیشف که ریشه های چند جمله ای چیبیشف از مرتبهn میباشدو همچنین با استفاده از روابط تعامد گسسته چند جمله ای های گسسته می توان ضرایب a_j رامشخص کرد سپس از بسط تابع با چند جمله ایهای چبیشف مشتقات اول ودوم را محاسبه کرده با جایگذاری در معادله معادله را بدستگاهی از معادلات دیفرانیل معمولی تبدیل میکنیم. و با روش های رانگ کتا برنامه نویسی مطلب ، برنامه od45 حل می کنیم.