بررسی زیرگروه هایی از گروه خودریختی های رده هایی خاص از گروه ها

فرض کنیم ‎$g$‎ یک گروه باشد و ‎$m$‎ و ‎$n$‎ زیرگروه های نرمالی از ‎$g$‎ باشند. در این صورت ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ را گروه همه خودریختی های ‎$g$‎ در نظر می گیریم که ‎$g/m$‎ و ‎$n$‎ را مرکزی می کنند. همچنین برای سادگی ‎$aut^{z(g)}_{z(g)}(g)$‎ را با ‎$c^{*}$‎ نمایش می دهیم. یکی از سوالات جالبی که در مورد خودریختی ها مطرح می شود یافتن شرط لازم و کافی برای گروه ‎$g$‎ است به طوری که زیرگروه های خاصی از خودریختی های ‎$g$‎ با هم برابر شوند. ‎ oindent‎ در این رساله با استفاده از روش های متنوع جبری به حل مسائل ذیل می پردازیم: ‎egin{itemize}‎ ‎item[(1)]‎ مشخص ساختن همه گروه های پوچ توان متناهی مولد ‎$g$‎ که در آن ها ‎$c^{*}=inn(g)$‎. ‎item[(2)]‎ مشخص ساختن گروه های پوچ توان متناهی مولد ‎$g$‎ که در آن ها ‎$aut_{c}(g)=inn(g)$‎. ‎item[(3)]‎ یافتن شرایط لازم و کافی برای ‎$g$‎ به طوری که ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ با ‎$z(inn(g))$‎, ‎$inn(g)$‎, ‎$c^{*}$‎ یا ‎$aut_{c}(g)$‎ برابر شود. ‎item[(4)]‎ مشخص ساختن ‎$p$-‎گروه های متناهی ‎$g$‎ که در آن ها تساوی ‎$aut^{m_{1}}_{n_{1}}(g)=aut^{m_{2}}_{n_{2}}(g)$‎ برای زیرگروه های نرمال ‎$m_{1}$‎، ‎$m_{2}$‎، ‎$n_{1}$‎ و ‎$n_{2}$‎ از ‎$g$‎ برقرار باشد. ‎item[(5)]‎ یافتن شرایطی که وجود خودریختی های غیر داخلی از ‎$aut^{m}_{n}(g)$‎ را تضمین کند. ‎item[(6)]‎ طبق تعریف خودریختی ‎$ heta$‎ از گروه ‎$g$‎ را داخلی نقطه ای گوییم هرگاه برای هر ‎$xin g$‎، ‎$ heta(x)$‎ با ‎$x$‎ مزدوج باشد. ابتدا تعمیمی طبیعی از این مفهوم ارائه نموده و سپس به بررسی برخی ویژگی های آن و رابطه بین ‎$inn(g)$‎ و گروه خودریختی های داخلی نقطه ای در گروه های پوچ توان متناهی مولد از رده ‎2‎ می پردازیم.