حل تقریبی دسته ای از مسائل کنترل بهینه تحت pde خطی به کمک نیم گروه ها

مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی کاربرد‍ های زیادی در علوم محض‏، مهندسی، اقتصاد و غیره دارند. از طرفی اینگونه مسائل‏، نوعا"‎‏‎ غیر خطی می ‎باشند و حل تحلیلی و عددی آنها معمولا با دشواریهایی روبرو است. تاکنون چندین روش برای حل تحلیلی یا عددی اینگونه مسائل ارائه شده است .‎با توجه به این که این نوع مسائل دارای شرایط اولیه‏، نهایی و شرایط مرزی می ‎‎‏ باشند، در این روش ها هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییرات زیادی در محاسبات شده و همه محاسبات باید تکرار گردند. در این رساله رهیافت عددی جدیدی برای حل ‎‎‎این نوع مسائل کنترل بهینه بر اساس نظریه نیم گروه ها ‎‎ ‎‎ارائه می کنیم که هرگونه تغییر در شرایط اولیه یا مرزی باعث ایجاد تغییر جزیی در محاسبات می شود‎‎، زیرا ساختار نیم گروه مرتبط با هر مسئله تغییر نمی‎‎کند. ابتدا مسائل کنترل بهینه تحت‎ مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی سهموی‎ خطی یک بعدی و دو بعدی را در نظر می گیریم و به منظور بدست آوردن نیم گروه تقریبی مربوطه، با گسسته سازی متغیر های غیر زما‎‎نی،‎ مسئله ‎pde‎ ‎‎‎ را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی در شکل ناهمگن تقریب می زنیم. در ادامه با استفاده از نظریه نیم گروه ها‏‏، ماتریس اساسی مربوط به شکل همگن مسئله دیفرانسیل معمولی خطی را محاسبه می کنیم. پس از آن اثبات همگرایی رهیافت را در اولین تقریب‏ با استفاده از مطالب و قضایای مربوط به ماتریسهای‎‎ ‎ توبلیتز و ‎نیم گروه ها‎ بررسی می نماییم. ‎سپس ‎‎‎تابع کنترل را با استفاده از چندجمله ای های چبیشف تقریب می زنیم و پس از بررسی همگرایی روش در دومین تقریب، مسئله اصلی را به صورت تقریبی حل می کنیم. در ادامه مسائل کنترل بهینه تحت مسئله دیفرانسیل‎ با مشتقات جزیی ‎‎ ‎ ‎‎هذلولوی‎‎‎ خطی را در نظر می‎‎گیریم و رهیافت بالا را برای حل تقریبی آن به کار می گیریم. در پایان حل مسائل کنترل بهینه تحت ‎‎مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎خطی سهموی با ضرایب متغیر زمانی ‎‎‎ را مورد بررسی قرار می دهیم‏. با در نظر گرفتن ‎‎مسئله دیفرانسیل با مشتقات جزیی ‎خطی سهموی ‏ و‎‎‎ با استفاده از گسسته سازی متغیر های غیر زمانی،‎‏ مسئله اصلی را با یک مسئله دیفرانسیل معمولی خطی‏ با متغیر زمانی تقریب می زنیم. سپس با استفاده از تکنیک ‎ hdmr ‎‎مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرایب متغیر زمانی را با چندین مسئله دیفرانسیل معمولی خطی با ضرائب ثابت تقریب می زنیم. همچنین چند مثال عددی ارائه می کنیم.