خمینه های ریمانی فشرده ی هفت بعدی با گروه هولونومی g2

نخستین بار برگر‎‎ ثابت کرد اگر روی یک خمینه ی ریمانی همبند ساده متر تحویل ناپذیر تعریف شود گروه هولونومی آن زیر گروهی از‎ u(m),so(n),su(m),sp(m),sp(m)sp(1),spin(7) ‎ و یا زیر گروهی از‎ g2 ‎ خواهد بود. اما اینکه تحت چه شراطی هر یک از این حالت ها می تواند اتفاق بیافتد و آیا اینکه همه ی این حالات اتفاق می افتند یا نه، مطلبی بود که سی سال بعد یعنی در سال ‎1985‎ دانشمندان موفق شدند آن را نشان دهند و توانستند اولین مثالها از خمینه هایی ریمانی با یک متر تحویل ناپذیر که گروه هولونومی آن دقیقا g2بود را معرفی نمایند. اما این مثالها فشرده نبودند مثالهای فشرده از این خمینه ها برای اولین بار در سال ‎1996‎ توسط جویس‎‎ ساخته شدند اما روش جویس برای ساخت این خمینه ها بسیار پیچیده بود که در آن مجبور به حل معادلات غیر خطی ‎ope‎ بودیم بعد از جویس در سال ‎2000‎ کوالو توانست روش دیگری برای ساخت این خمینه ها معرفی کند که این روش نیز مانند روش جویس بسیار پیچیده بود و از سال ‎2000‎ تا کنون روش دیگری برای ساخت این خمینه ها معرفی نشده است