میانگین پذیری توسیع های مدولی جبرهای باناخ دوگان

مفهوم میانگین پذیری ریشه در آغاز نظریه اندازه مدرن دارد. پس از سال ‎1940‎ میانگین پذیری به یک مفهوم مهم در آنالیز هارمونیک تبدیل شد. جانسن ‎ltrfootnote{johnson}‎ کسی بود که نظریه میانگین پذیری جبرهای باناخ را ابداع کرد. اما مفهوم میانگین پذیری ضعیف اولین بار توسط دیلز ‎ltrfootnote{dales}‎ و همکارانش در ‎cite{dales2}‎ برای جبرهای باناخ جابجایی معرفی شد و توسط جانسن برای حالت ناجابجایی گسترش پیدا کرد‎.‎ فرض کنید ‎$a$‎ یک جبر باناخ و ‎$x$‎ یک ‎$a$‎ -مدول باناخ دوطرفه باشد. ‎$a imes x$‎ به همراه هرکدام از نرم های ‎$$|(a,x)|_1=|a|+|x|$$‎ و ‎$$|(a,x)|_{infty}=max{|a|,|x|}$$‎ برای هر ‎$aina$‎ و ‎$xin x$‎، تبدیل به یک فضای باناخ می شود. این فضاهای باناخ به همراه ضربی که برای هر ‎$a,bin a$‎ و ‎$x,yin x$‎ به صورت ‎$$(a,x)(b,y)=(ab,acdot y+xcdot b)$$‎ تعریف می شود، تبدیل به جبرهای باناخ می شوند که آنها را توسیع های مدولی جبر باناخ ‎$a$‎ می نامیم و به ترتیب با نمادهای ‎$aoplus_1 x$‎ و ‎$aoplus_infty x$‎ نشان می دهیم. دیلز به همراه پروفسور قهرمانی و گرونبک ‎ltrfootnote{gr?nb?k}linebreak‎ میانگین پذیری ضعیف را در ‎cite{dales3}‎ مورد بررسی قرار داده اند، ولی میانگین پذیری ضعیف توسیع مدولی ‎$aoplus_1 x$‎ اولین بار در سال ‎2002‎ توسط ژانگ ‎ltrfootnote{zhang}‎ در ‎cite{zhang}‎ مورد مطالعه قرار گرفت.