پایان نامه ی کارشناسی ارشد رشته ی ریاضی محض گرایش جبر لی

یکی از شاخه های جدید در ریاضیات مدرن، جبر لی است. نخستین گام در زمینه ی جبر لی در قرن ‎19‎ توسط ریاضیدانی نروژی به نام ماریوس سفوس لی برداشته شد. بررسی معادلات دیفرانسیل جزیی، او را به سمت شاخه ای از ریاضیات سوق داد، که امروزه جبر لی نامیده می شود. در اواخر قرن ‎19‎ فردریک انگل همکاری خود را با لی آغاز کرد. ریاضیدانانی نظیر کلینگ، کارتان، وایل، کز، مودی و ...‎ کارهای ارزشمندی در این زمینه انجام داده اند. بیش از یک دهه پیش، جبرهای لی ساده ی به طور موضعی متناهی، از بعد نامتناهی، مورد مطالعه قرار گرفته و طبقه بندی شدند‎. یکی از نتایج این طبقه بندی مطالعه ی جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ بود. از جمله نتایج ارزشمند، در زمینه ی مطالعه ی این چهار جبر لی نتایجی در مورد زیرجبرهای کارتان و بورل این جبرهای لی می‎باشد‎. هدف اصلی این پایان نامه توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی، از جبرهای لی ‎gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، با تقریب یکریختی است. نتایج، حاصل گسترش نتایج بیان شده در مقالات ‎[13]‎ و ‎[14]‎ به جبرهای لی به طور موضعی متناهی از بعد نامتناهی است. این پایان نامه که بر اساس مرجع ‎[12] تدوین شده است، مشتمل بر چهار فصل می باشد. فصل ‎1‎ را در شش بخش تنظیم کرده ایم. در این فصل، برخی تعاریف و نکات مقدماتی را که در ضمن این پایان نامه به آن ها نیاز خواهیم داشت بیان می کنیم. فصل ‎2‎ شامل چهار بخش است. در بخش اول برخی مطالب مقدماتی تر آورده شده است. دو بخش بعد به معرفی جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازد. در بخش ‎2‎، شکل ماتریسی این جبرهای لی را بیان می کنیم؛ در حالی که در بخش ‎3‎، این جبرهای لی را با استفاده از فضای دوگان معرفی خواهیم کرد. در بخش آخر این فصل، به تعریف یک جبر لی به طور موضعی متناهی پرداخته و خواهیم دید که جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ به طور موضعی متناهی هستند. فصل سوم، که مهمترین فصل این پایان نا مه است، نیز شامل چهار بخش می باشد. در بخش اول مفهوم حد مستقیم یک دستگاه مستقیم از جبرهای لی بیان می شود. مهمترین گزاره این بخش نشان می دهد، جمع مستقیم حد مستقیم یک خانواده از دستگاه های مستقیم، تحت یکریختی، با حد مستقیم جمع مستقیم آن خانواده برابر است. در بخش دوم این فصل، ابتدا با تعریف یک اشباع استاندارد آشنا می شویم. در ادامه، برای هر کدام از جبرهای لی ‎ gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ یک اشباع استاندارد معرفی خواهیم کرد. در بخش سوم با مفهوم شاخص برای یک جبر لی-همریختی از جبرهای لی ساده ی با بعد متناهی آشنا می شویم. بخش آخر شامل اصلی ترین نتیجه ی این پایان نامه است. در این بخش ابتدا با مفهوم یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی آشنا می شویم. سپس با بیان قضیه ای به توصیف زیرجبرهای لی نیم ساده ی موضعی جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ می پردازیم. این توصیف بر اساس یافتن یک شرط معادل برای تعریف یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ ‎ است. بنابر این قضیه یک شرط معادل برای زیرجبرهای لی به طور موضعی نیم ساده ی ‎ s از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ بیان می شود. در فصل ‎4‎، با در نظر گرفتن هر یک از جبرهای لی gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎ به بررسی ساختار مدول طبیعی v‎ و هم طبیعی ‎ v*این جبرها، به عنوان مدول هایی از زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی s‎ از g‎ خواهیم پرداخت. می دانیم، قضیه ی وایل بیان می کند که هر مدول با بعد متناهی از یک جبر لی نیم ساده ی از بعد متناهی به صورت جمع مستقیمی از زیرمدول های تحویل ناپذیر، نوشته می شود. با توجه به این که برای یک زیرجبر لی نیم ساده ی موضعی ‎s از gl(?)، sl(?)، so(?) و sp(?)‎، ‎ v و ‎v*‎، s‎-مدول های از بعد نامتناهی هستند، لذا تجزیه ی آن ها به صورت جمع مستقیم زیرمدول های تحویل ناپذیر، نیاز به بررسی دارد که در این فصل به آن پرداخته می شود.