مدول های ریکارت

فرض‎‎ کنیم ‎r‎‏ حلقه ای یکدار ‏و شرکت پذیر‏، ‎‎‎‎m‎‎‏ یک ‎r‎‎‎‏-مدول راست ‎یکانی و ‎‎‎‎s=‎ ‎end_r(m)‎‏ حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‎‏-درون ریختی ها‏ ی ‎m‎‎‏ باشد. ‎حلقه ی ‎‎‎‎r‎‎‏ ریکارت راست نامیده می شود هرگاه پوچ ساز راست هر عضو ‎‎‎‎r‎‎‎‏‏ ‏یک جمعوند مستقیم ‎‎‎‎r‎‏ باشد. در این پایان نامه مفهوم ریکارت و خواص مربوط به آن ‏برای مدول ها تعمیم داده می شود. مدول ‎m‎‎‏ ریکارت نامیده می شود هرگاه به ازای هر عضو? ‎‎‎‏ از حلقه ی ‎‎‎‎s‎‎‎‏‏، r_m (?)?^? m‎‎‏. نشان داده شده است رده‏ ی حلقه هایی‎‏ که هر مدول راست روی آن ها ریکارت می باشد‏، با کلاس حلقه های نیم ساده ی آرتینی یکی است؛ در حالی که کلاس حلقه های ‎‎‎‎r‎‏ که هر ‎‎‎‎r‎‎‎‏-مدول آزاد‏ ریکارت باشد‏، با کلاس حلقه های موروثی راست برابر است. هم چنین نشان داده شده است خاصیت ریکارت توسط جمعوندهای مستقیم به ارث برده می شود. علاوه بر این‏، به بررسی ارتباط بین مدول های ریکارت و حلقه ی درون ریختی هایشان پرداخته و ثابت شده است که حلقه ی درون ریختی ها روی مدول های ریکارت نیز دارای این خاصیت است‏، اما عکس این مطلب در حالت کلی برقرار نمی باشد.‎‎‎‎ هم چنین مدول ریکارتی که حلقه ی درون ریختی هایش شامل هیچ مجموعه ی نامتناهی از عناصر خودتوان متعامد ناصفر نباشد یک مدول بائر است. به علاوه‏، اگر مدول ‎‎‎‎m‎‎‏ به صورت حاصل جمع مستقیم دلخواه از مدول های دوری روی دامنه ی ددکیند ‎‎‎‎r‎‎‏ باشد آن گاه ‎m‎‎‏ ریکارت است اگر و تنها اگر ‎‎‎‎m‎‎‏ نیم ساده یا از تاب آزاد باشد‏، اگر و تنها اگر‏، ‎end_r(m)‎ ‎‏ یک حلقه ی ریکارت راست باشد.