رنگ آمیزی مکان یاب گراف ها

فرض کنید ‎$c$‎‏ یک ‎$k$-‎رنگ آمیزی معتبر از گراف همبند ‎$g$‎‏ با کلاس های رنگی ‏ ‎$v_1$‎‏‏، ‎$v_2$‎‏‏، ‎$ldots$‎‏‏، ‎$v_k$‎ باشد.‏ ‎$pi:=(v_1,v_2,...,v_k)$‎ را افراز مرتب حاصل از این رنگ آمیزی در نظر بگیرید.‎ کد رنگی رأس ‎$vin v(g)$‎‏‏ یک ‎$k$‎‏-تائی مرتب است که به صورت زیر تعریف می شود vspace*{3mm}‎‎ $$‎c_{{}_pi}(v)‎:=(d(v,v_1),d(v,v_2),ldots,d(v,v_k)).$$‎‏ اگر رئوس متمایز ‎$g$‎‏ کدهای رنگی متمایز داشته باشند‏، آن گاه ‎$c$‎‏ یک ‎‎‏ ‎$k‎$‎‎-رنگ آمیزی مکان یاب‎‏ ‎ نامیده می شود. کوچک ترین عدد صحیح ‎$k$‎‏ با این خاصیت را ‏ عدد رنگی مکان یاب‏‏ ‎‎$‎g‎$‎، ‎‎‎$‎cchi_{{}_l}(g)‎$‎‎‏‏،‎‎‎‎ می نامند. در این رساله ‎‏ عدد رنگی مکان یاب ‏ را برای گراف های کنسر‏، حاصل ضرب دکارتی‏ گراف ها، و الحاق گراف ها مورد مطالعه و بررسی ‏ قرار می دهیم. ‎ ابتدا‏ ثابت می کنیم که برای هر ‎‎$‎ngeq5‎$‎ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب ‎$kg(n,2)$‎ برابر ‎$n-1$‎ است. ‏ در حالت ‎$kgeq 3$‎‏ نشان می دهیم که اگر ‎$ngeq k^2$‎‏، آن گاه عدد رنگی مکان یاب ‎‎$‎kg(n,k)‎$‎‏ حداکثر ‎$n-1$‎ است. ‎‏‏سپس‏، با ارائه کران هایی برای عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد‏، نشان می دهیم که فاصله ی بین عدد رنگی و عدد رنگی مکان یاب گراف های فرد را به هر میزان دل خواهی می توان بزرگ کرد. هم چنین‏، عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو مسیر‏ و حاصل ضرب دکارتی یک مسیر با یک گراف کامل را به طور دقیق محاسبه می کنیم. عدد رنگی مکان یاب حاصل ضرب دکارتی دو گراف کامل را نیز در برخی از حالت ها مشخص‏، و برای بقیه ی حالت ها حدس هایی ارائه می کنیم. برای بررسی عدد رنگی مکان یاب الحاق گراف ها‏، یک پارامتر جدید تعریف می کنیم که ارتباط بسیار نزدیکی با عدد رنگی مکان یاب دارد. سپس‏، با استفاده از این پارامتر جدید‏ مقدار دقیق عدد رنگی مکان یاب الحاق مسیرها‏، دورها‏، و گراف های چندبخشی کامل را به دست می آوریم.‏