رأس-رنگ آمیزی یال-وزن دهی گراف ها

یک رنگ آمیزی رأسی مجاز برای گراف دلخواه ‎$g$‎ اختصاص رنگ به رئوس گراف است به‏ طوری که رئوس مجاور رنگ های متفاوت دریافت نمایند. به دلیل جذابیت های کاربردی و تحقیقاتی این مفهوم، تاکنون تعمیم های گوناگونی از رنگ آمیزی رأسی تعریف شده و مورد بررسی قرار گرفته است. در این پایان نامه یکی از این تعمیم ها به نام مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وز‏ن دهی یک گراف را مورد بررسی قرار می دهیم. فرض کنید ‎$g$‎ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوس ‎$v(g)$‎ و مجموعه یال های ‎$e(g)$‎ است. یک ‎$k$-‎یال-وزن دهی مانند ‎$w$‎ از گراف ‎$g$‎ را به عنوان یک تخصیص از وزن های صحیح ‎$‎w(e)in{{mbox 1},{mbox 2},ldots,k}$‎ به تمام یال های ‎$g$‎ درنظر می گیریم. به طور طبیعی هر یال-وزن دهی ‎$w$‎ یک رنگ آمیزی رأسی ‎$c$‎ القا می کند که برای هر رأس ‎$v$‎ به صورت ‎$c(v)=sum_{esim v} w(e)$‎ تعریف می شود. یک ‎$k$-‎یال-وزن دهی از گراف ‎$g$‎ یک رأس-رنگ آمیزی نامیده می شود، اگر رنگ آمیزی رأسی القایی ‎$c$‎ مجاز باشد، یعنی برای هر ‎$uvin e(g)$‎، ‎ $c(u) eq c(v)$‎. به چنین رنگ آمیزی یک رأس-رنگ آمیزی ‎$k$-‎یال-وزن دهی گفته می شود. هدف این پایان نامه مطالعه مفهوم رأس-رنگ آمیزی یال-وزن دهی و نتایج مربوط به این مفهوم است. به ویژه روند بهبود نتایج در تلاش برای اثبات این حدس و نتایج حاصل از آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. بدین منظور ضمن جمع آوری کلیه نتایج به دست آمده و روشهای مشابه رنگ آمیزی، تعمیم این نوع رنگ آمیزی و بهبود نتایج مورد توجه می باشد.‎ در این فصل به معرفی و دسته بندی رنگ آمیزی های مشابه و بعضاً مرتبط پرداختیم و در هر مورد نتایجی را که تا به امروز به دست آمده است‏، اجمالاً بیان کردیم. محور اصلی این پایان نامه حدس ‎$‎3‎$-‎$2$-‎$1$‎ ‏و‎‎‎ بررسی وزن دهی یالی نظیر آن است. لذا تعیین مقدار پارامتر ‎$‎mu‎$‎‏‏‏ و نشان دادن درستی حدس برای خانواده های معروف از گراف ها و نیز بیان شرایط کافی برای اطمینان از برقراری حدس مدنظر می باشد. ‏در‎‎ این مسیر مسأله یافتن گراف هایی با ‎$‎mu(g)leq2‎$‎ اهمیت پیدا می کند که در فصل سوم به تفصیل به آن خواهیم پرداخت. هم چنین در این فصل در مورد دسته بندی گراف های دوبخشی بر اساس پارامتر ‎$‎mu‎$‎‏ بحث خواهیم نمود. در آخرین فصل از این نوشتار‏،‎ مسأله ‎‎‏یافتن یک یال-وزن دهی برای گراف ‎$‎g‎$‎‏ با استفاده از دو عدد حقیقی را بررسی می کنیم. هم چنین‎ ‏نتایج‎ جدید مستخرج از این پایان نامه تحت قالب مقاله ای در دسترس قرار گرفته است cite{ourpaper}‎.