بررسی ساختار جبری حلقه ها با استفاده از گراف های جهت دار و غیرجهت دار

در این رساله‏، با نظیر کردن دو گراف به حلقه های‏ جابه جایی‏، به مطالعه ساختار جبری ‏آن ها می پردازیم. فرض کنید ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای جابه جایی و یکدار بوده و ‎$‎‎‎mathb‎‎‎b{a}(r)‎$‎‎‏‏، ‎‏ ‎$‎‎‎max (r)‎$‎‏ ‎ ‎‎‎‎ و ‎‎$‎mi‎n (r)‎$‎ ‏ به ترتیب‏، مجموعه ایده آل های ‎$‎‎‎r‎$‎ با پوچساز ناصفر‏،‏ مجموعه ایده آل های ماکزیمال ‎$‎‎‎r‎$‎‏ و مجموعه ایده آل های اول مینیمال ‎$‎‎‎r‎$‎‏ باشند. ‎‏گراف جهت دار منظم ایده آل های ‎$‎‎‎r‎$‎‏ که با ‎$‎‎‎‎overrightarrow{‎gamma‎_{ eg }‎}‎(r)‎$‎‎‏ نشان داده می شود‏، گراف جهت داری است که هر رأس آن ایده آلی غیربدیهی است و به ازای هر دو رأس متمایز ‎$‎‎‎i‎$‎‏ و ‎$‎j‎$‎‏‏، ‎‎ کمانی از ‎$‎‎‎i‎$‎‏ به ‎$‎j‎$‎ وجود دارد اگر و تنها اگر ‎ ‎$‎‎‎i‎$‎‏ ‎‏شامل عضوی ‎$‎j‎$‎-منظم باشد.‎‎‎ همچنین‏، گراف زمینه این گراف جهت دار با ‎$‎gamma‎_{ eg }(r)‎$ ‏نشان داده می شود. به ازای هر حلقه آرتینی ‎$‎‎‎r‎$‎‏ نشان می دهیم $|{{max}}(r)|-1leqomega(gamma_{ eg }(r))leq |{{max}}(r)|$ و ‏‎$‎‎‎‎‎chi(gamma_{ eg }(r))=2|{{‎‎max}}(r)|-k-1‎$‎‏ که در آن $k$ تعداد میدان های ظاهر شده در تجزیه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ به حلقه های موضعی آرتینی می باشد. ‏در دیگر نتایج‏، نشان می دهیم که گراف جهت دار ‎$‎‎‎‎overrightarrow{‎gamma‎_{ eg }‎}‎(r)‎$ همبند قوی است اگر و تنها اگر ‎$‎‎‎r‎$‎‏ یک دامنه صحیح باشد. همچنین این گراف جهت دار همبند ضعیف است اگر و تنها اگر ‎‎$|‎‎‎max (r)|geq 3‎$‏ و در تجزیه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ به حلقه های موضعی آرتینی‏، حداقل یک میدان ظاهر شود. قطر و کمر گراف زمینه نیز (برای حلقه های آرتینی) مشخص خواهند شد. گراف ایده آل پوچ کن ‏متناظر با حلقه ‎$‎‎‎r‎$‎‏‏ که با ‎$‎‎‎‎mathbb{ag}(r)‎$‎‎‏ نشان داده می شود‏، گرافی ‏ساده است که مجموعه رئوس آن مجموعه ‎$‎‎‎‎mathbb{a}(r)setminus ‎{(0)}‎$‎‎‎ ‎‎ ‎‏است و دو رأس متمایز ‎$‎‎‎i‎$‎‏ و ‎$‎‎‎j‎$‎‏ مجاورند اگر و تنها اگر ‎$‎‎‎ij=(0)‎$‎‏. در این رساله‏، نتایجی در مورد اعداد خوشه ای و رنگی این گراف ثابت می شوند. نشان می دهیم که اگر ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای آرتینی باشد و ‎$‎‎‎omega(‎mathbb{ag}(r)‎)‎=2‎$‎‎‏‏، آنگاه ‎$‎‎‎r‎$‎‏ حلقه ای گرنشتاین است. همچنین حلقه هایی که گراف ایده آل پوچ کن آن‎‏ ها کامل یا دوبخشی هستند‏، را رده بندی می کنیم. در پایان ثابت می شود که به ازای هر حلقه‎‏ کاسته ‎$‎‎‎r‎$‎‎‏‏ داریم ‎$‎‎‎‎chi(‎mathbb{ag}(r))=omega(‎mathbb{ag}(r))=|min (r)‎|‎‎$‎‏.\