استفاده از تبدیلات یکانی پیوسته برای تولید هامیلتونی موثر مدل هابارد

همواره مردم در طی چندین سالی که از عمر مکانیک کوانتومی می گذرد، دنبال رهیافتی برای توضیح مسائل بس ذره ای بوده اند. در کل، رهیافت یک مسئله کوانتومی منجر به پیدا کردن ویژه حالت های هامیلتونی می شود که معادل با قطری کردن هامیلتونی است ولی در سیستم های بس ذره ای پیدا کردن این ویژه حالت ها، وقتی که برهمکنش بین ذرات سیستم غیرقابل اغماض است، کار راحتی نیست و بعضی اوقات غیرقابل حل. برای فائق آمدن بر این مشکل اساسی، در این زمینه، یکی از رهیافت ها، ساده-سازی شکل هامیلتونی توصیف کننده سیستم است. از روش های ساده سازی هامیلتونی تبدیل پایه سیستم است. در این حالت باید دنبال تبدیلی بود که شکل ماتریس را اگرچه قطری نکند، بطور فزاینده ای صفرهای ماتریس را افزایش دهد. کاری که در این پایان-نامه برای تبدیل پایه ها انجام داده ایم روش تبدیلات یکانی پیوسته اختلالی است. این روش در ابتدا توسط وگنر ابداع شد. در این روش کاری که انجام می شود این است که یک مولد تبدیلی تولید می شود که تابعی از یک متغیر پیوسته است و با استفاده از آن یک معادله شار، که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است، بوجود می آید. تغییرات متغیر پیوسته به گونه ای است که هامیلتونی را بلوکه قطری می کند. می توان برای تولید مولد از مفهوم شبه ذره ای استفاده کرد. که در اینجا شبه ذرات برانگیختگی های سیستم هستند. مولدی که انتخاب می شود باید طوری انتخاب شود که مستقل از شکل هامیلتونی باشد. مولدی که وگنر برای اهداف خود از آن استفاده نمود، بصورت جابجایی قسمت قطری هامیلتونی با کل هامیلتونی است. در این پایان نامه مولد تبدیل بصورت جابجایی شمارنده شبه ذرات با هامیلتونی کل بیان شده است. وقتی که متغیر پیوسته به بینهایت میل می کند هامیلتونی موثر تولید می شود که با شمارنده شبه ذرات جابجا می شود و این مفهوم پایستگی شبه ذرات را دارد. اثر هامیلتونی موثر بر روی شبه ذرات به دلیل پایسته نگاه داشتن آنها فقط باعث جابجایی آنها در داخل شبکه موثر می شود. هامیلتونی مورد استفاده برای این پایان نامه هامیلتونی هابارد است. این هامیلتونی دارای دو قسمت است، بخش انرژی جنبشی و بخش دیگر انرژی برهمکنش کولنی. در حالتی که انرژی جنبشی کوچک باشد ولی در مقابل انرژی کولنی قابل اغماض نباشد بسط هامیلتونی می تواند کارگشا باشد. پس کمیت اختلالی نسبت انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل خواهد بود و با کمک گیری از تبدیلات یکانی پیوسته اختلالی هامیلتونی موثر را تولید می کنیم. در حالت کلی سیستم می تواند همه حالت های کاملا پر تا کاملا خالی که بطور کل چهار حالت برای هر سایت است بخود بگیرد، اما کاری که انجام داده ایم اینست که بخاطر مهم بودن حالت های نیمه پر در حالتی که نسبت انرژی جنبشی به انرژی برهمکنش کولنی با یک قابل مقایسه است، در قسمت نیمه پر، مسئله را حل کردیم. شبه ذراتی که در اینجا مورد استفاده قرار گرفت وجود حالت های کاملاپر بود. در این رهیافت بهره گیری از عملگرهای هابارد ما را به تولید هامیلتونی موثر اسپینی که دارای جملات جفت شده هایزنبرک و جملات برهمکنشی حلقه ای است سوق داد. نمایش اسپینی هامیلتونی موثر بیان می کند که فضای هیلبرت موضعی، یعنی فضای هیلبرت مربوط به هر یک از سایت ها، از چهار حالت به دو حالت کوانتمی مجزا تبدیل شده است.