سیستم های کوانتومی حل پذیر دقیق و شبه دقیق

در این پایان نامه، برای بدست آوردن مدل های حل پذیر نسبیتی روش هایی را برای حل معادله دیراک با توابع موج اسپینوری ارائه می کنیم. ابر تقارنی در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی به عنوان یک روش جبری برای حل معادله دیراک در پتانسیل های الکترومغناطیسی با تقارن کروی مورد استفاده واقع می شود و تعدادی از ابرپتانسیل های وابسته به حالت پایه در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی برای مطالعه معادله دیراک می تواند مورد استفاده واقع شود. همچنین نشان داده می شود که معادله های دیفرانسیل شرودینگر گونه که از معادله دیراک بدست می آیند، با یک پتانسیل الکتروستاتیک ثابت به تابع اصلی و تابع وزن می توانند نسبت داده شوند، به طوری که همچنان خواص ابر تقارنی و شکل ناوردایی حفظ شود. توابع موج اسپینوری بالا برای تعدادی از پتانسیل های میدانی به وسیله انتخاب های خاصی از تابع اصلی و تابع وزن متناظر آن در جملاتی براساس نمایش های رودریگز محاسبه می شوند. پتانسیل های موهومی غیر هرمیتی یک بعدی با طیف انرژی حقیقی در معادله دیراک با چارچوب جرم موثر وابسته به مکان در بخش دیگر پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد. معادله دیراک با پتانسیل های موهومی غیر هرمیتی می تواند به یک معادله شرودینگر گونه تبدیل شود. روش تبدیلات کانونیک در مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی به عنوان یک روش جبری برای محاسبه تابع جرم بکار گرفته می شود و سپس با استفاده از تابع جرم بدست آورده شده، پتانسیل موهومی قابل محاسبه خواهد بود. توابع موج اسپینوری برای تعدادی از این پتانسیل های االکتروستاتیک در جملاتی وابسته به چند جمله ایهای متعامد بدست می آیند. همچنین در هر مورد طیف انرژی حالت های مقید نسبیتی را براساس طیف انرژی حالت های مقید غیر نسبیتی پتانسیل های حل پذیر بدست می آیند. در نهایت مدل های کوانتومی شبه حل پذیر با استفاده از روش های جبری در این پایان نامه مورد مطالعه قرار می گیرد. برای این مدل ها تنها می توان قسمتی از طیف سیستم را برای یک مقدار معین پارامتر بدست آورد. در حقیقت، در این سیستم ها پتانسیل به پارامتر وابسته بوده و ماتریس هامیلتونی با درایه های غیر صفر به صورت ساختار بلوک قطری نوشته می شود. سپس می توان بلوک متناهی را با استفاده از مولدهای گروه لی، مثل ، با ضرایب ثابت باز نویسی کرد. بنابراین با قطری کردن بلوک متناهی، از نظر تحلیلی قسمتی از طیف ویژه مقادیر و ویژه توابع متناظر تعیین می شوند. مدل های شبه حل پذیر در ابعاد بالاتر نیز با استفاده از مولدهای جبر لی و مطالعه می شود و برخی از این پتانسیل ها که روی فضای ریمان با تانسور متریک تعریف می شود، بدست می آید.