تجزیه اولیه، مولفه های اولیه و خاصیت رشد خطی

در این پایان نامه، خواص زیر از تجزیه های اولیه روی حلقه نوتری ‎$r$‎ مطالعه خواهد شد: ‎egin{description}‎ ‎item[1)]‎ به ازای مدول های متناهی مولد ‎$nsubseteq m$‎ و زیرمجموعه ‎$x=lbrace p_{1}‎, ‎p_{2},ldots‎, ‎p_{r} brace$‎ از ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎، یک مولفه ‎$-x$‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ را به صورت مقطع ‎$n=q_{1}cap q_{2}capcdotscap q_{r}$‎ تعریف می کنیم که در آن ‎$ q_{i}$‎ها مولفه های ‎$ p_{i}$-‎اولیه ‎$nsubseteq m$‎ هستند. سپس خاصیت سازگاری تجزیه های اولیه را اثبات کرده و به کمک آن، مولفه های ‎$-x$‎اولیه ماکسیمال ‎$nsubseteq m$‎ را بررسی می کنیم و در نهایت به بررسی مجموعه های باز ‎$mathrm{ass}(m/n)$‎ می پردازیم. ‎item[2)]‎ خاصیت رشد خطی را تعریف کرده و ارتباط آن را با اعداد آرتین-ریس بیان می کنیم. ‎item[3)]‎ خاصیت رشد خطی ‎$mathrm{ext}$‎ و ‎$mathrm{tor}$‎ را اثبات می کنیم، یعنی نشان می دهیم به ازای مدول های با تولید متناهی ‎$n$‎ و ‎$ m$‎، ایدآل های ‎$i_{1}‎, ‎i_{2},ldots‎, ‎i_{t}$‎ از ‎$ r$‎ و هر عدد صحیح نامنفی ‎$ i$‎، یک عدد طبیعی ‎$ k$‎ یافت می شود به طوری که به ازای هر ‎$underline{n}=(n_{1}‎, ‎n_{2},ldots‎, ‎n_{t})inmathbb{n}^{t}$‎ می توان یک تجزیه اولیه از زیرمدول صفر در ‎$mathrm{e}_{underline{n}}=mathrm{ext}_{r}^{i}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$‎ ( یا زیرمدول صفر در ‎$mathrm{t}_{underline{n}}=mathrm{tor}_{i}^{r}(n‎, ‎m/i_{1}^{n_{1}} i_{2}^{n_{2}}ldots i_{t}^{n_{t}}m)$)‎ پیدا کرد به طوری که هر مولفه ‎$‎ ‎-p$‎اولیه ‎$ q$‎ از این تجزیه شامل ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{e}_{underline{n}}$‎ (یا ‎$p^{kvertunderline{n}vert}mathrm{t}_{underline{n}}$)‎ باشد، که در آن ‎$vert{underline{n}}vert=n_{1}+n_{2}+cdots+n_{t}$‎. ) به ازای مدول های متناهی مولد n ? m و زیرمجموعه x = {p?, p?, . . . , pr} از ass(m/n)، یک مولفه x-اولیه n ? m را به صورت مقطع n = q??q??· · ·?qr تعریف می کنیم که در آن qiها مولفه های pi-اولیه n ? m