آنالیز غیر هموار و برخی از کاربردهای آن روی خمینه های ریمانی

در این پایان نامه گرادیان های تعمیم یافته یا زیر دیفرانسیل ها از توابع غیر مشتق پذیر، تعریف شده روی خمینه های ریمانی مورد بررسی قرار می گیرند و حساب زیر دیفرانسیل متناظر به زیر دیفرانسیل کلارک، بویژه قضیه مقدار میانی لی بورگ و قاعده زنجیری، اثبات می شوند. سپس مخروط های نرمال و مماس به زیر مجموعه های بسته از خمینه های ریمانی، معرفی می شوند و مشخصه سازی هایی از این مخروط ها ذکر می شوند. در ادامه زیر جت مرتبه دوم و زیر جت حدی مرتبه دوم برای توابع نیم پیوسته پایینی تعریف شده روی خمینه های ریمانی، هم چنین حساب زیر جت متناظر به آن ها بررسی می شوند. به عنوان کاربردهای آنالیز غیر هموار روی خمینه های ریمانی، سه زیر مجموعه از خمینه های ریمانی با نام های اپی-لیپ شیتز، p-محدب و تقریباً منظم معرفی می شوند. این مجموعه ها از اهمیت ویژه ای برخوردارند، چون کلاس اول شامل زیر مجموعه های محدب بسته با درون غیر تهی می باشد و کلاس دوم و سوم شامل مجموعه های بسته محدب اند. مشخصه سازی ای از مجموعه های اپی-لیپ شیتز ارائه می گردد و خواص مخروط های مماس و نرمال کلارک متناظر به این مجموعه ها بررسی می شوند. هم چنین به بررسی خواص تابع فاصله و تصویر متریکی متناظر به زیر مجموعه های p-محدب و تقریباً منظم از خمینه های ریمانی خواهیم پرداخت. در ادامه به بیان کاربردهای آنالیز غیر هموار در نظریه مورس می پردازیم. با توجه به مشخصه سازی ای که از مجموعه های اپی-لیپ شیتز داریم، ثابت می کنیم مجموعه های اپی-لیپ شیتز در خمینه های ریمانی کامل، همسایگی های درون بر هستند. سپس تعمیم نا همواری از اصل باریکه نابحرانی برای نظریه مورس را ثابت می کنیم. در پایان، با استفاده از مفهوم جدید درجه توپولوژیکی، برای نگاشت های مجموعه مقدار تعریف شده روی خمینه های ریمانی از بعد متناهی به کلاف مماس، مشخصه اویلر متناظر به زیر مجموعه های اپی-لیپ شیتز از خمینه های ریمانی توازی پذیر کامل، را تعریف می کنیم. شرط کافی برای یک بودن مشخصه اویلر متناظر به زیر مجموعه های اپی-لیپ شیتز را بیان کرده و با استفاده از نتایج به دست آمده، به حل مسائل نظریه تعادل می پردازیم.