نظریه ی پوشش ها، h-گروه ها و کاربردهای آنها در گروه های هموتوپی توپولوژی

از آنجایی که رده بندی پوشش ها در نظریه ی پوشش های کلاسیک برای فضاهایی با رفتارهای خوب موضعی یعنی همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی انجام می شود، هنگام ظاهر شدن رفتارهای موضعی پیچیده، استفاده کردن از برخی نتیجه های این نظریه ناممکن است. از جمله می توان به وجود فضای پوششی جهانی اشاره کرد که شرط لازم و کافی شناخته شده برای وجود آن همبند مسیری موضعی و همبند ساده نیم موضعی بودن فضا است. ما در این رساله با بررسی پوشش های برخی از این فضاها که رفتار موضعی خوبی از خود نشان نمی دهند، پوشش های جدیدی معرفی نموده، بعد از نمایش اینکه آن ها فضاهای پوششی جهانی هستند، شرط لازم و کافی برای وجود چنین فضاهای پوششی جهانی ارائه می نماییم. همچنین، با استفاده از گروه هایی به نام اسپنیر که نخستین بار در کتاب خود او ( البته نه به این نام ) به کار گرفته شده است و با معرفی فضاهایی به نام فضای اسپنیر، اثبات می کنیم که همه ی فضاهای پوششی جهانی فضای اسپنیر هستند و بدین شکل فضای پوششی جهانی هر فضای دلخواه شناخته می شود. یکی دیگر از مفاهیمی که ارتباط عمیقی با نظریه ی پوشش ها دارد و اخیراً هم مورد توجه بسیاری از ریاضی دانان قرار گرفته است، گروه بنیادی توپولوژی است. از آنجایی که تناظر یک به یکی بین زیرگروه های باز این گروه ها که در ابتدا به عنوان گروه های توپولوژی شناخته می شدند و پوشش های یک فضا وجود دارد، نتیجه هایی نیز با استفاده از پوشش های معرفی شده در این رساله برای گروه های بنیادی توپولوژی بدست می آوریم. البته ابتدا با معرفی اشیاء خارج قسمتی در رسته ی ‎$h$‎-گروه ها و تعمیم نتایجی از رسته ی گروه های توپولوژی به این رسته، با دیدگاه دیگری به مبحث توپولوژی دار کردن گروه بنیادی می پردازیم. سپس اثبات های جدیدی از برخی نتیجه های قدیمی، ارائه داده و نتیجه های جدیدتری را نیز بدست می آوریم. در فصل پایانی این رساله، کاربردهایی از آنچه که در فصل های پیش ارائه شده در نظریه ی گروه های بنیادی توپولوژی بیان می کنیم که از جمله می توان به یافتن شرط هایی اشاره کرد که موجب ‎$t_1$‎ شدن توپولوژی گروه بنیادی می شود.