ارائه روشهای عددی برای پیش بینی چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی

بررسی وجود و چندگانگی جوابهای معادلات دیفرانسیل به ویژه با شرایط مرزی اغلب بسی دشوار بوده و همراه با گام های ملالت آور می باشد بطوریکه همواره نیاز به پیش شرط هایی می باشد که معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی مورد نظر باید داشته باشد. بنابراین اثبات آنالیزی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی اغلب غیر ممکن می باشد. روشهای تقریبی- تحلیلی یا روشهای عددی صرفاً برای بدست آوردن جواب موجود مورد نظر بصورت تقریبی مورد استفاده قرار می گیرند و قادر به پیش بینی جوابهای چندگانه مسائل مقدار مرزی غیر خطی نمی باشند. بر این اساس ایدهء استفاده از روشهای عددی برای بررسی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی در این رساله مطرح شده است. در این رساله ما روش آنالیز هموتوپی پیشگو (pham) را معرفی کرده ایم که بر اساس آن می توان پی به چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی برد. پایه اصلی این روش، روش آنالیز هموتوپی می باشد که در دهه اخیر برای بدست آوردن جواب تقریبی – تحلیلی به صورت سری برای معادلات دیفرانسیل مطرح شده است. در این روش با استفاده از پارامتری می توان همگرایی سری جواب را کنترل و سرعت بخشید، علاوه بر این می توان برای مسائلی که شامل قسمتهای غیر خطی قوی دارند بکار برد و جوابهای تقریبی مناسبی با دقت بالا بدست آورد. روش آنالیز هموتوپی پیشگو را می توان به آسانی روی معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی با شرایط مرزی به کار برد. این روش علاوه بر پیش بینی چندگانگی مسائل مقدار مرزی قادر به محاسبه همزمان تقریبی- تحلیلی آنها نیز می باشد. بر این اساس برای استفاده های کاربردی در علوم و مهندسی این روش این امکان را می دهد که جوابهای ناشناخته ای از معادلات بدست آید که اساساً مورد علاقه می باشند. با توجه به وجود نرم افزار های قوی سیمبلیک امروزه، این روش ما را متقاعد می سازد که آن را روی معادلات غیر خطی بکار ببریم و مهمّتر اینکه خود را از گام های ملالت آور وجود و بررسی جواب مبرّا سازیم. در روش آنالیز هموتوپی پیشگو دو پارامتر وجود دارد که نقش مهمّی در بررسی چندگانگی جوابها دارد، یکی از آنها پارامتر کنترل کننده همگرایی و دیگری پارامتر تجویز شده به مسئله می باشد. این روش مزیّت دیگری نیز دارد که تنها با یک حدس آغازی و یک عملگر خطی و یک تابع کمکی همه شاخه های جوابهای مساله را بدست می دهد. ساختار این رساله به شرح زیر است. در فصل اول به بیان مقدمه ای بر روش آنالیز هموتوپی می پردازیم زیرا روشی که ارائه خواهد شده بر اساس این روش است. این فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [1] s. abbasbandy, m. pakdemirli, e. shivanian, optimum path of a flying object with exponentially decaying density medium, z. naturforsch. 2009; 64a: 431 – 438. [2] s. abbasbandy, e. shivanian, solution of singular linear vibrational bvps by the homotopy analysis method, journal of numerical mathematics and stochastics, 20009; 1 (1): 77-84. [3] s. abbasbandy, e. shivanian, a new analytical technique to solve fredholm’s integral equations, numer algor 2011; 56: 27–43. [4] h. vosughi, e. shivanian, s. abbasbandy, a new analytical technique to solve volterra’s integral equations, mathematical methods in the applied sciences, 2011; 10(34): 1243-1253. [5] s. abbasbandy, e. shivanian, series solution of the system of integro-differential equations, z. naturforsch, 2009; 64a: 811 – 818. در فصل دوم به معرفی روش و سپس بصورت کامل به آنالیز ریاضی آن پرداخته می شود و در فصل سوم چندین مدل کاربردی که اعتبار روش را تائید می کند، بررسی می شود. این دو فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [6] s. abbasbandy, e. magyari, e. shivanian, the homotopy analysis method for multiple solutions of nonlinear boundary value problems, commun nonlinear sci numer simulat 2009;14: 3530–3536. [7] s. abbasbandy, e. shivanian, prediction of multiplicity of solutions of nonlinear boundary value problems: novel application of homotopy analysis method, commun nonlinear sci numer simulat 2010; 15: 3830–3846. [8] s. abbasbandy, e. shivanian, exact analytical solution of a nonlinear equation arising in heat transfer, physics letters a, 2010; 374: 567–574. [9] s. abbasbandy, e. shivanian, k. vajravelu, mathematical properties of h-curve in the frame work of the homotopy analysis method commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 4268–4275. [10] s. abbasbandy, e. shivanian, predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2456–2468. در فصل چهارم به مسائل مقدار مرزی غیر خطی که دارای شرط مرزی در بی نهایت می باشند، بصورت مختصر پرداخته می شود و روشی مبتنی بر شبه طیفی – هم محلی برای یک مساله مقدار مرزی غیر خطی ناشی از جریان تبادل حرارت مخلوط در ماده متخلخل که دارای شرایط مرزی در بی نهایت می باشد بکار گرفته می شود و جوابهای دوگانه آن بدست می آید که بر اساس مقاله زیر است. [11] s. abbasbandy, e. shivanian, multiple solutions of mixed convection in a porous medium on semi-infinite interval using pseudo-spectral collocation method, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2745–2752.