مدول های حاصل ضربی روی بعضی حلقه های خاص

فرض کنید r یک حلقه ی تعویض پذیر یکدار و m یک r-مدول راست یکانی باشد. مدول m حاصل ضربی گفته می شود در صورتی که برای هر زیرمدول n از m ایدآل i از حلقه r وجود داشته باشد به طوری که n=mi. همچنین حلقه r را دوطرفه راست گوییم هر گاه هر ایدآل راست آن ایدآلی از r باشد. در این پایان نامه به بررسی مدول های حاصل ضربی روی حلقه های دلخواه و دوطرفه راست خواهیم پرداخت.هم چنین زیرمدول های اول و نیم اول را برای مدول های حاصل ضربی را نیز بررسی خواهیم کرد. در فصل 2 نشان داده میشود که مدول m حاصل ضربی است اگر و تنها اگر برای هر زیرمدول n از m داشته باشیم (n:m) همان ایدآلی است که در شرط حاصل ضربی بودن یک مدول صدق خواهد کرد. همچنین نشان خواهیم داد که هر r-مدول دوری روی یک حلقه جابجایی همواره حاصل ضربی است. اما لزوما عکس این مطلب برقرار نیست و در فصل 4 نشان خواهیم داد که هر r-مدول دوری روی یک حلقه دوطرفه راست مدولی حاصل ضربی است. در فصل 3 نیز با معرفی یک عمل ضرب روی زیرمدول های یک مدول حاصل ضربی مفاهیم زیرمجموعه ضربی بسته و مقسوم علیه صفر را تعریف کردیم و توانستیم قضایایی را که در مورد حلقه ها برقرار بود را در مورد مدول های حاصل ضربی بیان و اثبات کنیم. همچنین این قضیه را اثبات و بیان کردیم که اگر m مدولی حاصل ضربی باشد آن گاه زیرمدول دلخواه n از مدول m زیرمدولی اول است اگر وتنها اگر (n:m) ایدآلی اول از حلقه باشد. همچنین ثابت کردیم که اگر m مدولی حاصل ضربی باشد آنگاه عکس لم شور برقرار خواهد بود.