عدد احاطه گری گراف های پروانه ای و دیگر اقسام آن

از آغاز ظهور مفهوم احاطه گر در سال های 1950 و مطالعات گسترده ای که حدود بیست سال پس از آن در این حوزه انجام گرفت، اندیشه ی به کار گیری این مفهوم در شبکه های ارتباطی فکری بدیع جلوه می نمود که به تدریج علاقه ی پژوهشگران ریاضی را به خود جلب کرده و زمینه های پیشرفت فنون مدل بندی شبکه ها را فراهم آورد. هر شبکه ی ارتباطی به صورت گرافی طراحی می شود که در آن، هر راس نمایانگر یک گره یا پردازشگر و هر یال پیوند بین دو پردازشگر را نشان می دهد. گراف های متعددی تاکنون در سیستم های ارتباطی مورد استفاده قرار گرفته اند که در این میان خانواده ی گراف های پروانه ای توجه بسیاری از مهندسین رایانه را به خود جلب کرده است و بعید نیست که این امر به علت خواص توپولوژیایی ویژه ی این نوع گراف ها باشد که از جمله ی آن ها می توان به تعداد زیاد پردازشگرها در آن، درجه ی ثابت گره، کوتاهی قطر، تقارن و قابلیت پشتیبانی بسیاری از الگوریتم های موازی اشاره کرد. از سوی دیگر، شبکه ی پروانه ای توازن بسیار خوبی بین هزینه و فرآیند اجرا در سیستم های موازی به نمایش گذاشته است. تعبیری که در حال حاضر از این نوع گراف ها وجود دارد، توپولوژی طراحی سیستم های موازی است، زیرا همان گونه که گفتیم گراف های پروانه ای از نظر ساختاری تقارن بسیار خوبی داشته و منتظم از درجه ی 4 هستند و این مزیتی ویژه در مبحث شبکه های ارتباطی است. در آغاز نگاهی کوتاه به مفهوم احاطه گر داشته و برخی از اقسام آن را که در اینجا مورد بحث قرار داده ایم، معرفی می کنیم. پس از آن گراف پروانه ای را تعریف کرده و این بار از دیدگاهی متفاوت به تحلیل عدد احاطه گری این گراف جالب خواهیم پرداخت. لازم است اشاره کنیم که در سال 2006 آی. پی. کلکار الگویی برای مجموعه ی احاطه گر کمین برای گراف های پروانه ای در رساله ی دکترای خویش ارایه کرده بود که در اینجا قاعده ی دقیق این الگو را به دست می آوریم. در بخشی از پایان نامه، عدد احاطه گری رفعی، عدد احاطه گری کلی، عدد 2-احاطه گری، عدد 2-احاطه گری فاصله ای و عدد احاطه ای ستاره ای علامتدار را برای این نوع گراف ها ارایه کرده و سپس مسایل شبکه را بررسی می کنیم. در پایان، به اثبات یکریختی گراف های پروانه ای با گونه ی خاصی از میدان های متناهی پرداخته و مجموعه های احاطه گر کمین را از دیدگاه جبری مورد بحث قرار می دهیم.