الکترومغناطیس محاسباتی با استفاده از روش های بدون مش

در علوم فیزیکی و مهندسی بسیاری از مسائل وجود دارند که بر اساس روش های تئوری و آنالیتیک نمی توان پاسخی به صورت فرم بسته برای آن ها پیدا کرد . معمولاً مسائل کاربردی که ساختارهای متنوعی دارند از این دسته اند . بنابراین برای یافتن جواب این مسائل به ناچار می بایست از روش های عددی کمک گرفت . روش های عددی سابقه ی طولانی دارند اما با اختراع کامپیوتر حل مسائل با روش های عددی بسیار راحت شد و در نتیجه توجه دانشمندان به این روش ها بیشتر شد. تاکنون روش های عددی زیادی پیشنهاد شده اند و درمسائل مختلف مورد استفاده قرار گرفته اند و در حقیقت راهگشای علوم طبیعی بوده اند . اهمیت این روش ها در پیشبرد مسائل عملی باعث شده روز به روز توجه بیشتری به آن ها شود و روش های جدید بهینه پیشنهاد شوند و یا روش های قبلی به نوعی کامل شوند . یکی از ابتدایی ترین روش های عددی روش تفاضل محدود (finite difference) می باشد که استفاده زیادی از آن شده است . تاکنون نرم افزارهای متعددی بر پایه این روش تولید شده و به صورت تجاری مورد استفاده قرار گرفته است . با این که کارایی چنین روشی کاملاً به اثبات رسیده اما تلاش برای ارائه روش های جدیدکه کارایی بهتری داشته باشند ادامه داشته است . بعد از آن روش های زیادی ارائه شده اند که از جمله مهم ترین آن ها می توان به روش ممان (moment method) یا روش المان محدود (finite element) اشاره کرد. هر کدام از این روش ها ویژگی های خاص خود را دارند. متناسب با شرایط مسئله می توان از یکی از آن ها استفاده کرد. مثلاً روش المان محدود برای استفاده در مسائلی که ساختار فیزیکی پیچیده ای دارند ارائه شده است در حقیقت این روش به خاطر نقصان روش های دیگر در مدل کردن ساختارهای پیچیده مطرح شده است و حقیقتاً کارایی آن در ساختارهای پیچیده به اثبات رسیده است. اما المان بندی ساختارها با این روش بسیار دشوار و زمان بر می باشد و به همین خاطر دسته ی جدیدی از روش های عددی مطرح شدند که در آنها نیازی به المان بندی ساختار نمی باشد بنابراین ساختارهای پیچیده را به راحتی با این روش می توان مدل کرد و در زمان محاسبات تا حد زیادی صرفه جویی کرد. روش های بدون مش غالباً در سه مرحله انجام می شوند : 1–گسسته سازی دامنه محاسیاتی بوسیله تعدادی نقطه که به آن ها گره هم می گویند. این نقاط باید دامنه مسئله و مرزها را کاملاً مشخص کنند و در مسائل عملی معمولاً این نقاط به صورت غیریکنواخت در دامنه پخش می شوند (برای کارآیی بیشتر). 2–متناسب با هر نقطه یک تابع تقریب (shape function) تولید می شود که در حقیقت این توابع شکل بر اساس مقدار تابع مجهول در محل نقاط ، مقدار تابع را تخمین می زند. این مرحله از مهم ترین قسمت های روش بدون مش می باشد. یافتن تابع تقریب مناسب هم روی دقت روش و هم روی نحوه پیاده سازی و زمان محاسباتی روش تأثیر می گذارد . 3– پیاده سازی معادله دیفرانسیل مربوطه بر روی گره ها بر اساس توابع تقریب (بطور کلی این مرحله به دو صورت فرم قوی و فرم ضعیف قابل اجرا می باشد که درباره ی آن به طور مفصل در این پایانه بحث می شود.). تفاوت نسخه های مختلف روش های بدون مش به تفاوت نحوه اجرای هرکدام از این مراحل بر می گردد . هر کدام از این نسخه ها مزایا و معایب خاص خود را دارند که با گذشت زمان تعدادی از آن ها به خوبی تصحیح شده اند ومعروفیت بیشتری پیدا کرده اند. برای مثال در سال های اخیر تولید توابع تقریب به روش rpim (radial point interpolation method ) بسیار مورد توجه قرار گرفته است به گونه ای که اکثر کارهای جدید بر اساس این روش انجام می شوند. دراین پایان نامه ابتدا در فصل اول مختصری درمورد روش های عددی مورد استفاده از الکترومغناطیس محاسباتی بحث می شود. تفاوت روش های متداول بیان می شود و روش بدون مش معرفی می شود . در فصل دوم به بررسی تعدادی از روش های معروف درتولید توابع تقریب می پردازیم و ویژگی های هر کدام از روش ها را بررسی می کنیم. شرایط خاصی که برای توابع تقریب ضروری است بیان می شود و نقاط ضعف و قوت آن ها برجسته می شود. فصل سوم به نحوه ی فرمول بندی روش های بدون مش اختصاص دارد. معادله دیفرانسیل را به دو صورت فرم ضعیف و فرم قوی می توانیم درون گره ها گسسته کنیم. این دو روش به صورت کامل تشریح می شوند و ویژگی های هر کدام بیان می شود. سپس انواع معادلات دیفرانسیلی را که در حل مسائل الکترو مغناطیس با آنها روبرو هستیم با فرم ضعیف گسسته می کنیم ومثال هایی را مطرح می کنیم و با استفاده از روش های بدون مش به حل آن ها می پردازیم . در فصل چهارم دو روش جدید برای تولید توابع تقریب پیشنهاد می دهیم و نشان می دهیم این دو روش در حالی که تقریب قابل قبولی دارند، زمان محاسباتی را تا حد زیادی کاهش می دهند . کارایی این توابع شکل را درمثال های متعدد مورد ارزیابی قرار می دهیم و جواب بدست آمده را با جواب بدست آمده از روش های معمول مقایسه می کنیم دراین مثال ها سعی شده تنوع زیادی وجود داشته باشد تا تمامی شرایط عملی ممکن منظور شود وکارایی روش پیشنهادی درشرایط دشوار نیز به اثبات برسد. و در نهایت در فصل پنجم یک تکنیک ویژه برای اعمال ناپیوستگی در توابع تقریب پیشنهادی ارائه می کنیم . که مناسب وضعیت تابع تقریب پیشنهادی می باشد همچنین یک روش برای محاسبه انتگرال ها به صورت نقطه ای مورد بررسی قرار می گیرد تا روش بدون مش کامل شود .