وجود و یکتایی جواب مساله کوشی برای یک رده از معادلات دیفرانسیل پاره ای در فضاهای باناخ

یک معادله دیفرانسیل پاره ای، معادله ای است که رابطه ای بین یک تابع مجهول با دو یا چند متغیر مستقل و مشتقات جزئی آن تابع نسبت به آن متغیرها بیان می کند. یک مسأله مقدار مرزی، یک معادله دیفرانسیل است همراه با یک مجموعه از محدودیت ها به نام شرایط مرزی. حل یک معادله دیفرانسیل، یعنی یافتن تابعی که در آن معادله و شرایط مرزی آن صادق باشد. مسائل مقدار مرزی در بسیاری از شاخه های علم فیزیک کاربرد دارند. برای مثال مسائل شامل معادله ی گرما یا معادله ی موج اغلب به صورت مسائل مقدار مرزی بیان می شوند. ما در این پایان نامه به بررسی وجود و یکتایی جواب مسأله ی کوشی برای معادلات دیفرانسیل پاره ای در فضاهای باناخ می پردازیم. به طور خاص ثابت می کنیم اگر‎‎$e$‎‎ فضایی باناخ باشد، در این صورت برای توابع هموار ‎‎$e$‎‎ -مقدار ‎‎$‎f(x ‎, t‎)$‎‎ و ‎‎$‎‎varphi_0(x), varphi_1(x), ‎ldots, ‎varphi_{k-‎1}(x)$‎‎ که $t‎ in bbb r$ و ‎$‎x‎‎‎ in bbb ‎r^n$‎‎‎‎ مسأله ی زیر جواب یکتا دارد:‎‎ ‎[‎ ‎d_t^k‎ u(t , x) + sum_{j=0}^{k-1} ‎‎sum_‎{| alpha|=0‎}^infty a_{j, alpha} d_t^j d_x^alpha u(t , x) = f(t , x) ]‎ [ ‎d_t^j‎ u(0 , x) = ‎‎v‎arphi_j(x)‎ quad quad (j=0 , ldots , k-1) ]‎ در اینجا ضرایب ‎‎$a_{j‎ , alpha}$‎ عملگر های خطی و کران دار روی ‎‎$e$‎‎ هستند. ‎‎