زیر خمینه های ریمانی با مرز معین

اساسی ترین مثال از زیر خمینه های با انحنای مقطعی از پایین کراندار ابررویه های با انحنای مقطعی مثبت در فضای اقلیدسی هستند. این ابررویه ها موضعا محدب هستند به این معنی که هر نقطه از آنها یک همسایگی دارد که به طور کامل در یک طرف صفحه مماس در آن نقطه واقع می شود. در این پایان نامه در ابتدا ساختار یک خم پرشده در فضای اقلیدسی 3- بعدی شرح داده می شود. سپس فضاهای الکساندروف تعریف می شوند و در چارچوب این فضاها قضیه ی تناهی که بیان می کند یک زیر خمینه ی هموار با نقص بعد 2 در فضای اقلیدسی n- بعدی مرز تعداد متناهی از زیر خمینه های به طور مثبت خمیده شده واقع می شود، ثابت می گردد. همچنین در ادامه با استفاده از نتایج قدیمی قضیه گاوس بونه یعنی لم های کوهن وسن و لم هابر حالت قویتری از قضیه تناهی را ثابت می کنیم. در ادامه قضیه های معروف یعنی قضیه ی فشردگی گروموف و قضیه ی پایایی پرلمان بیان می گردند. با استفاده از این قضیه ها نشان می دهیم که بین فضاهای الکساندروف با انحنای از پایین کراندار و قضیه ی تناهی نوع توپولوژی برای زیر خمینه های ریمانی رابطه تنگاتنگی برقرار است. در انتها مفهوم پایان را برای یک زیر خمینه در فضای اقلیدسی را تعریف می کنیم. سپس با در نظر گرفتن یک خمینه ی ریمانی تام و نافشرده در فضای اقلیدسی نشان می دهیم که یک کران بالا برای تعداد پایان ها وجود دارد.