مولفه های کرانداری و همبندی و خواص جداسازی برای مخروط های موضعاً محدب

این پایان نامه به بررسی ساختارهایی روی مخروط های موضعاً محدب از جمله برخی خواص جداسازی و مولفه های همبندی و کرانداری روی مخروط های موضعاً محدب می پردازد. مخروط های موضعاً محدب سر و کار با مخروط های مرتبی دارد که لزوماً در فضاهای برداری نشانده نمی شود. یک ساختار توپولوژیکی توسط مفاهیم نظری ترتیب تولید می شود. ما برخی از مفاهیم اصلی برای اثبات ها و جزئیات را به کار خواهیم بست. مفاهیمی چون مخروط مرتب، تابعی خطی، مخروط موضعاً محدب پر، عملگرهای خطی، همسایگی های بالایی و پایینی و نیز توپولوژی متقارن حاصل از آنها و قضایایی چون قضیه ی توسیع و جداسازی هان-باناخ و نیز معرفی توپولوژی های مربوطه ی مخروط های موضعاً محدب و تعریف و بررسی انواع مولفه های همبندی و کرانداری از مفاهیم و مسائلی است که مورد بحث قرار خواهد گرفت.‎ یک مخروط مرتب عبارت است از یک مجموعه مانند ‎$mathcal{p}$‎ با یک عمل جمع ‎$(a,b)mapsto a+b$‎ و یک ضرب عددی ‎$(alpha,a)mapsto alpha a$‎ که در آن ‎$alpha geq0$‎ و یک ترتیب بطوریکه عمل جمع شرکت پذیر و جابجایی است و نیز یک عضو خنثی مانند ‎$0_mathcal{p}$ (بطور خلاصه ‎$0in mathcal{p}$‎ ) برای جمع وجود دارد. برای ضرب عددی خواص توزیع پذیری و شرکت پذیری معمولی برقرار است. ترتیب روی ‎$mathcal{p}$‎ نیز یک رابطه ی متعدی و انعکاسی مانند ‎$leq$‎ است بطوریکه به ازای هر ‎$a,b,cin mathcal{p}$‎ و ‎$alphageq0$‎، ‎$aleq b$‎ نتیجه دهد ‎$a+cleq b+c$‎ و ‎$alpha aleq alpha b$‎ .‎‎ فرض کنید ‎$p$‎ یک مخروط مرتب باشد. زیرمجموعه ی ‎$v$‎ از ‎$p$‎ را یک دستگاه همسایگی مجرد گوییم هرگاه خواص زیر را دارا باشد‎:‎ ‎$(upsilon_{1}$‎ به ازای هر ‎$vin v$‎، ‎$v>0$ ;‎ ‎$(upsilon_{2}$‎ به ازای هر ‎$u,vin v$‎، عضوی مانند ‎$win v$‎ موجود باشد بطوریکه ‎$wleq u‎ , ‎wleq v$ ;‎ ‎$(upsilon_{3}$‎ به ازای هر ‎$u,vin v$‎ و هر ‎$alpha>0$‎، ‎$u+vin v‎ , ‎alpha vin v$.‎ در حقیقت ‎$v$‎ یک زیرمخروط بدون ‎$0$‎ بوده که به طرف ‎$0$‎ جهت دار است. ‎‎ یک مخروط موضعاً محدب پر ‎$(mathcal{p}‎, ‎mathcal{v})$‎ عبارت است از یک مخروط مرتب ‎$mathcal{p}$‎ که شامل یک دستگاه همسایگی مجرد ‎$mathcal{v}$‎ است. ‎egin{flushright}‎ برای مخروط های ‎$mathcal{p}$‎ و ‎$mathcal{q}$‎، نگاشت ‎$t:mathcal{p} ightarrow mathcal{q}$‎ یک عملگر خطی نامیده می شود هرگاه برای هر ‎$a,bin mathcal{p}$‎ و هر ‎$alphageq 0$‎ داشته باشیم: ‎end{flushright}‎ ‎egin{center}‎ ‎$t(alpha a)=alpha t(a)$‎ و ‎$.t(a+b)=t(a)‎ + ‎t(b)$‎ ‎end{center}‎ ‎egin{flushright}‎ اگر ‎$aleq b$‎ نتیجه دهد که ‎$t(a) leq t(b)$‎، عملگر ‎$t$‎ یکنوا نامیده می شود. ‎‎ عضو ‎$ain mathcal{p}$‎ را کراندار پایینی گویند هرگاه به ازای هر‎$vin mathcal{v}$‎ ‎،$v$-‎کراندار پایینی باشد‎.‎ قابل ذکر است که هر عضو ‎$mathcal{p}$‎ از پایین کراندار است‎.‎ برای عضو ‎$ain mathcal{p}$‎، مولفه های کرانداری پایینی و بالایی ‎$a$‎ را بصورت زیر تعریف می کنیم‎:‎ ‎end{flushright}‎ ‎egin{center}‎ ‎$(a) mathcal{b} = igcap _{vin mathcal{v}} {igcup_{varepsilon > 0} (a) v_{varepsilon}$‎ و ‎$.mathcal{b} (a) = igcap _{vin mathcal{v}} {igcup_{varepsilon > 0} v_{varepsilon} (a)$‎ ‎end{center}‎ اعضای ‎$mathcal{b} (a)$‎، کراندار بالایی نسبت به ‎$a$‎ نامیده می شود. بنابر تعریف یک مخروط موضعاً محدب برای هر ‎$ain mathcal{p}$‎ داریم ‎$0in mathcal{b} (a)$‎ و نیز ‎$mathcal{b} (0)=mathcal{b}$‎ شامل تمام اعضای کراندار ‎$mathcal{p}$‎ است. ‎‎ در ادامه ثابت می شود که مولفه های کراندار متقارن یک افرازی از ‎$mathcal{p}$‎ درون زیرمجموعه های محدب مجزا که در توپولوژی مربوطه ی متقارن بسته و همبنداند ایجاد می کنند. ‎‎ فضاهای برداری توپولوژیکی همبند بوده و تمام اعضای آنها کراندارند. این ویژگی در حالت کلی برای مخروط های موضعاً محدب برقرار نیست. شبه مولفه ی یک نقطه مانند ‎$x$‎ در یک فضای توپولوژیکی ‎$x$‎، اشتراک تمام زیرمجموعه های باز و بسته ی ‎$x$‎ شامل ‎$x$‎ است. شبه مولفه ها یک تجزیه از ‎$x$‎ درون زیرمجموعه های بسته و دو به دو مجزا تشکیل می دهند. از طرف دیگر مولفه ی ‎$xin x$‎، بزرگترین زیرمجموعه ی همبند شامل ‎$x$‎ است. مولفه ها زیرمجموعه هایی از شبه مولفه ها هستند و یک تجزیه ای از ‎$x$‎ درون زیرمجموعه های بسته، همبند و دو به دو مجزا تشکیل می دهند. یک فضای توپولوژیکی موضعاً همبند است هرگاه هر نقطه از آن دارای پایه ای از همسایگی های همبند باشد. در فضاهای موضعاً همبند، شبه مولفه ها و مولفه ها بر هم منطبق بوده و هر دو هم باز و هم بسته اند‎.‎ مهمترین مباحثی که در این پایان نامه به آنها پرداخته شده است، مفاهیمی جدید در رابطه با مخروط هااست که‎ به تعاریفی از این فضا و نیز مقدماتی از تعاریف اولیه پرداخته می شود. سپس به بررسی برخی خواص جداسازی پرداخته و حالات و توضیحات بیشتری از این خاصیت روی مخروط های موضعاً محدب آورده می شود.سپس به بیان مفاهیمی از مولفه های همبندی و کرانداری روی این مخروط ها می پردازد و تشریح بیشتری از مفهوم مولفه ی همبندی و‎ توضیحاتی از مولفه ی کرانداری آورده می شود. در نهایت با استفاده از این منابع، سه خاصیت مهم در مخروط های موضعاً محدب مورد بحث و بررسی قرار می گیرد: خاصیت جداسازی، مولفه ی همبندی و مولفه ی کرانداری.