انتگرال گیری از نگاشت های چندمقداری نسبت به اندازه چندمقداری

نیاز به اندازه های مجموعه-مقدار (چندمقدار‎ی‎) برای اولین بار در اقتصاد ریاضی به وجود آمد، هنگامی که ویند‎‎‎‎ نظریه تعادل را برای اقتصاد تبادل شامل قاعده تولید مورد مطالعه قرار داد ‎‎‎که در آن ائتلاف ها‏، اجزای اقتصاد پایه هستند و نه عوامل شخصی. از آن زمان به بعد، مبحث اندازه های مجموعه-مقدار توجه زیادی را به خود جلب کرد و در ادامه به مدل های مشابه مجموعه-مقدار در نظریه کلاسیک اندازه های برداری گسترش یافت‎.‎ پیشرفت های گوناگون در اقتصاد ریاضی و کنترل بهینه، منجر به مطالعه ی اندازه پذیری توابع مجموعه-مقدار شده است. همچنین انتگرال توابع مجموعه-مقدار مربوط به مسائل آماری مورد مطالعه قرار گرفته است. در نتیجه ی آن مقالات زیادی منتشر شد که با نظریه اساسی انتگرال گیری توابع مجموعه-مقدار و رویکردهای متعدد سرو کار دارند. با این حال، زمانی که از تابع مجموعه-مقدار نسبت به اندازه مجموعه-مقدار ، انتگرال می گیریم، تنها دو رویکرد را می توانیم تمیز دهیم: کاندیلاکس‎‎، انتگرالش را بر حسب انتگرال بوخنر تعریف کرد درحالی که پاپاجرجیا‎، انتگرال دوخطی دینکلینو‎‎ را در نظر گرفت. هدف این پژوهش، مطالعه ی برخی ویژگی های انتگرال یک تابع مجموعه-مقدار ‎‎ ‎(چندمقداری)‎ نسبت به یک اندازه مجموعه-مقدار است. برای این منظور‏، ابتدا تابع و اندازه ی مجموعه-مقدار را معرفی کرده و ویژگی های آن ها را مورد مطالعه قرار خواهیم داد. ‎‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎سپس با استفاده از ‎‎مفهوم انتخابگر، انتگرال تابع مجموعه-مقدار نسبت به اندازه ی مجموعه-مقدار را تعریف می کنیم و مشاهده خواهیم کرد که این انتگرال تحت شرایطی، یک اندازهمجموعه-مقدار است. ‎‎همچنین درباره تحدب این انتگرال و شرایط مورد نیاز آن بحث می کنیم.در آخر‏، ‎با‎ استفاده از مفهوم انتگرال تابع مجموعه-مقدار‏، به قضیه رادون-نیکودیم برای اندازه ی مجموعه-مقدار و نتایج آن می پردازیم.