دینامیک نمایی مختلط

سیستم های دینامیکی از سه جز تشکیل می شوند: فضای فاز که عناصر آن موقعیت سیستم را نشان می دهند، زمان که ممکن است گسسته یا پیوسته باشد و قاعده تغییر سیستم. بر این اساس سیستم های دینامیکی به دو دسته یعنی گسسته و پیوسته تقسیم می شوند.در فصل اول مفاهیمی از توپولوژی، توابع مختلط و سیستم های دینامیکی در حالت کلی را با ذکر مثال هایی از این سیستم هاارائه می کنیم . فصل دوم شامل معرفی مفاهیم مقدماتی سیستم های دینامیکی مختلط گسسته(مانند طبقه بندی نقاط ثابت، مجموعه ژولیا و مجموعه فاتو)و همچنین مقدماتی از آنالیز مختلط می باشد. به عنوان مثال نقطه ثابت یک تابع نقطه ای است که مقدار تابع در این نقطه با خود آن نقطه برابر است. نقاط ثابت برای یک تابع عبارتنداز: جذبی، فوق جذبی، دفعی، خنثی یا بی تفاوت. نقاط متناوب از دوره تناوب n را دورهایی از دوره تناوب n می نامیم. یعنی نقاطی که تکرار تابع در مرتبه nام در انها با خود این نقاط برابر است. مشابه نقاط ثابت، طبقه بندی برای نقاط متناوب موجود است. مجموعه ژولیا برای یک تابع مجموعه نقاطی است که در آنها خانواده ای از تکرارهای تابع نرمال نباشند. متمم مجموعه ژولیا مجموعه فاتو نامیده می شود. دورهای جذبی در مجموعه فاتو واقع می شوند. در فصل سوم دینامیک چندجمله ای های درجه دو را مطالعه نموده، به خصوص مجموعه مندلبروت را مورد بررسی قرار می دهیم. برای چندجمله ای های درجه دو، دو نوع مجموعه ژولیا موجودند: مجموعه های کانتور و مجموعه های ژولیایی که همبند هستند. در این فصل مشاهده می کنیم که مجموعه مندلبروت از یک پایه دلگون (ناحیه نقاط ثابت جذبی) تشکیل شده که از آن پیازهای متعددی آویزان است. همچنین دو مفهوم درخت فاری و مضاعف شدن رانیز بیان می کنیم.در واقع، درخت فاری شامل همه اعداد گویای بین صفر و یک است و تابع مضاعف شدن روی دایره واحد چنین تعریف می شود که اعداد حقیقی را با پیمانه یک در نظر می گیرد. نهایتا در فصل چهارم به دینامیک توابع نمایی که نوع خاصی از توابع متعالی تام می باشند، می پردازیم. برای توابع متعالی تام به طور بحرانی متناهی، یک انشعاب، مشابه حالت درجه دو موجود است؛ یا مجموعه ژولیا تمام صفحه است یا هیچ جا چگال بوده و شامل دسته گل های کانتور است. در این فصل ابتدا ایده ساخت دسته گل کانتور را بیان نموده سپس به نحوه ساخت دسته گل کانتور می پردازیم. مجموعه نقاط پایانی یک دسته گل کانتور را تاج گوییم. هر دسته گل کانتور خواص همبندی عجیبی دارد که همراه با نقطه در بینهایت همبند است اما تاج به تنهایی کلا ناهمبند است همچنین دسته گل هیچ کجا همبند موضعی نیست.