فرم نرمال بوگدانوف-تاکنز وشکافت مجانبی

تاریخچه نظریه نرمال فرم بیش از100سال است. فرم نرمال کلاسیک لزوما ساده ترین فرم نیست. یوشیکی با استفاده از عملگربراکت لی و با استفاده از تبدیلات غیر خطی توانست فرم نرمال ساده تری به دست آورد. همچنین او توانست برای چند میدان برداری خاص ساده ترین فرم نرمال را بدست آورد .بیدر وسندرز ساده ترین فرم نرمال را برای سیستم های همیلتونی و پوچ توان مطالعه کردند.آنها ساده ترین فرم نرمال رابوسیله مفهوم مدرج بدست آوردند. ونگ روشی دیگر ازطریق مفهوم مدرج ابداع کردندکه در آن فرم نرمال از مرتبه با لی براکت شده است آنها ثابت کردند کهساده ترین فرم نرمال فرمنرمال از مرتبه نامتناهی است . لذا شرایطی لازم که تحت آنها فرمهای نرمال مرتبهمتناهی ساده ترین فرم نرمال باشند را بدست آوردند. شکافت مجانبی یک سیستم دینامیکی نزدیک به نقطه تعادل سیستمی است با پارامترهای اضافه شده به طوری که هر تغییر در یک پارامتر همه خواص سیستم اولیه حفظ شود. شکافت مجانبی مرتبه متناهی یکی از بهترین راهها برای تحلیل سیستم می باشد که همراه با فرم نرمال می توان آنرا بدست آورد. ایده اصلی نظریه فرم نرمال ساده کردن تابع لجستیک با تغییرمتغییرهای نزدیک به همانی است. این به این دلیل است که تبدیل های نزدیک به همانی توپولوژی جوابهای معادله را تغییر نمی دهند و شار سیستم با شار سیستم فرم نرمال همانریخت توپولوژیک خواهد بود. در فصل اول : در ابتدا مفاهیم مقدماتی دستگاههای خطی وچگونگی بدست آوردن جواب برای سیستم های خطی وسپس سپس شرایط برای وجود دینامیکی را بیان می کنیم. در ادامه قضیه هارتمن گروبمن و مفاهیمی در رابطه با خواص سیستمهای خودگردان نقاط عادی منظم تکیین وبحرانی رابیان می کنیم. در پایان مفاهیمی از جبر لی و مثال هایی مهم از جبر های لی مانند که پایه واساس کارهای تحقیقاتی ما که در فصل 6ارائه می کنیم. در فصل دوم : روش براکت لی چندتایی و فرم بوگدانوف تا کنز را بیان می کنیم. سپس ساختار مدرج و امین سطح فرم نرمال و فرم های نرمال یکتا را بیان می کنیم ودر پایان مثالهایی از حالات خاص از بوگدانوف تاکنز بیان می کنیم. در فصل سوم : در ابتدا تعریف شکافت مجانبی را تعریف می کنیم سپس نرمال فرم های اولین سطح از سیستم های دو درجه ای را محاسبه می کنیم ودر ادامه اولین سطح شکافت سیستم دینامیکی نزدیک به نقطه تعادل را داریم ودر پایان مر حله ی ابر نرمال سازی را داریم. در فصل چهارم: ساده ترین فرم نرمال با استفاده از متغییر زمان محاسبه می کنیم ولی به خاطر مشکل بودن اثبات آنها روشی دیگر را در فصل 5 معرفی می کنیم در فصل پنجم : با روش ساده ترین فرم نرمال با استفاده از متغییر زمان محاسبه می کنیم. این روش مزیت های زیادی نسبت به روش قبلی دارد که مهمترین برتری داشتن ابزار مناسب برای اثبات قضایامی باشد که روش قبلی این امکان را نداشت. در پیوست نیز برنامه های کامپیوتری مربوط به روش اول آورده شده است که در آنجا ابتدا ساختارجبر لی رامحاسبه مکنیم بعد از آن ساختار مدرج و کوتاه سازی فرم نرمال را بدست می آوریم در ادامه اعمال تغییرات ودر نهایت فرم نرمال کلاسیک ساده ترین فرم نرمال را محاسبه می کنیم.