روش اختلال هموتوپی وردشی برای حل معادلات دیفرانسیل با نقطه منفرد

در فصل اول این پایان نامه به بیان بعضی از مفاهیم اولیه و قضایای پایه ای می پردازیم. هم چنین با توجه به این که ایده اصلی روش اختلال هموتوپی وردشی بر مبنای استفاده از مفاهیم دو روش تکرار وردشی و اختلال هموتوپی شکل یافته است، بخش سوم از فصل اول را به توضیح مختصری از حساب وردش ها اختصاص می دهیم چرا که مفاهیم اصلی روش تکرار وردشی در این شاخه از ریاضیات جای می گیرد. در فصل دوم مفاهیم و اصول روش های تکرار وردشی، اختلال هموتوپی و اختلال هموتوپی وردشی را بیان می کنیم. روش اختلال هموتوپی وردشی در سال 2008 و توسط آقای اسلم نور مطرح شد و برای حل انواع گوناگونی از معادلات خطی و غیرخطی به کار رفت. در این روش، ابتدا یک تابعک تصحیح کننده برای معادله دیفرانسیل غیرخطی کلی مورد بررسی ساخته می شود. با استفاده از این تابعک، مقدار بهینه ضریب لاگرانژ به دست می آید، سپس یک هموتوپی در نظر گرفته می شود به طوری که در رابطه اصلی موجود در این روش صدق کند. در این روش مشابه با روش اختلال هموتوپی، پارامتر p به عنوان یک پارامتر کوچک به کار می رود و فرض اصلی آن است که جواب رابطه اصلی موجود در این روش به صورت سری توانی از p نوشته شود. با جایگذاری سری توانی مذکور در رابطه اصلی و مرتب سازی جملات به دست آمده برحسب توان های p تعداد نامتناهی معادله برحسب (...,v_n,(n=0,1,2 به دست می آید. با حل این مجموعه از معادلات تقریبا ساده، v_nها به دست می آیند. با حد گرفتن از سری توانی وقتی که p به سمت یک میل می کند، جواب حقیقی معادله کلی مورد نظر به دست می آید. قابل توجه است از آن جایی که در به کارگیری روش اختلال هموتوپی وردشی برای حل معادلات دیفرانسیل، انتخاب مناسب عملگر خطی می تواند به خروج کامل قسمت خطی از محدوده محاسبات منجر شود، می توان این خاصیت را امتیازی برای این روش نسبت به روش های مشابه دیگر به شمار آورد ، چرا که در درجه اول این ویژگی موجب کاهش حجم محاسبات می شود و در درجه دوم می توان با استفاده از همین خاصیت به طور مستقیم به حل معادلات دیفرانسیلی که دارای رفتار منفرد می باشند، پرداخت و جواب مطلوبی به دست آورد. در فصل سوم نیز روش مذکور را برای حل انواع معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی خطی و غیرخطی به کار می گیریم. فصل پایانی را نیز به حل انواع معادلات دیفرانسیلی که دارای رفتار منفرد در نقطه x=0 می باشند،اختصاص می دهیم. برای بعضی از مثال ها جدول قدرمطلق خطا میان جواب تقریبی و جواب حقیقی در نقاط معلوم، ارائه شده و تصاویر جواب های حقیقی و تقریبی مقایسه شده اند.