بررسی رفتار برآوردگرهای بهبود یافته در حالت دو نمونه ای

پس از آنکه چارلز استاین در سال 1956 نشان داد در توزیع نرمال هنگامی که بعد فضای پارامتر بزرگتر یا مساوی سه است میانگین نمونه برآوردگر غیر مجاز برای میانگین توزیع نرمال است تاکنون تلاشهای زیادی در جهت بهبود برآوردگر میانگین در حالتی که بعد فضای پارامتر بزرگتر یا مساوی سه است انجام شده است اما هنوز به طور یکنواخت در تمام فضای پارامتر برآوردگر مجاز در این حالت بدست نیامده است. بهبود برآوردگرها تنها محدود به توزیع نرمال نشده است بلکه در توزیع های متقارن زیادی از جمله توزیع t نیز مورد بررسی قرار گرفته است. اما می توان با در نظر گرفتن خانواده کلی از توزیع ها یعنی خانواده توزیع هایی با منحنی تراز بیضی شکل مساله بهبود برآوردگرها را بررسی کرد طبیعتا نتایج بدست آمده در این خانواده از توزیع ها برای اعضاء آن نیز قابل کاربرد خواهد بود. که از اعضاء این خانواده از توزیع ها می توان به توزیع های چند متغیره t و نرمال و لاپلاس و... اشاره کرد. در این پایان نامه ابتدا با در نظر گرفتن مدل خطی ساده و با فرض اینکه خطا دارای توزیع نرمال است برآوردگرهای بهبود یافته و خواص آن را در حالت دو نمونه ای ارائه می کنیم پس از آن با در نظر گرفتن دو جامعه نرمال چند متغیره مستقل با ماتریس های کوواریانس مشترک برآوردگرهای بهبود یافته را معرفی و خواص آن ها را مورد بررسی قرار می دهیم و در نهایت با در نظر گرفتن دو نمونه از خانواده توزیع های بیضی گون نتایج را تعمیم می دهیم. این پایان نامه شامل 6 فصل است که اشاره ای مختصر به محتویات هر فصل می شود فصل 1 شامل یکسری تعاریف لم ها و قضایایی مورد نیاز در این پایان نامه است که برخی از آنها اثبات شده و در مورد بقیه نیز مرجع آن ذکر شده است. درفصل 2 مختصری در خانواده توزیع های بیضی گون و خواص آنها ارائه شده است همچنین لم چو به عنوان یک لم اساسی در بیان و اثبات مطالب فصل 6 بیان شده و برخی از خواص توزیع های بیضی گون مانند امید ریاضی و کوواریانس و تابع مشخصه براساس این لم بدست آمده اند. درفصل 3 ابتدا برآوردگر آزمون مقدماتی برای مدل خطی ساده معرفی خواهد شد و در کنارآن برآوردگر محدود شده تحت فرضیه صفر و برآوردگر محدود نشده برای پارامترهای مدل خطی ساده را ارائه می کنیم . همچنین عبارت های اریبی و مخاطره این برآوردگرها را بدست آورده آنها را با هم مقایسه می کنیم سپس مطالب را در حالت دو نمونه ای بررسی می کنیم. در فصل 4 ابتدا برآوردگر نوع استاین را برای مدل خطی ساده در حالت یک نمونه ای و دو نمونه ای معرفی کرده سپس تحت معیارهای اریبی و مخاطره عملکرد آن را با برآوردگر آزمون مقدماتی مقایسه می کنیم در انتها توجیه هندسی ایده استاین ارائه خواهد شد . در فصل 5 با در نظر گرفتن دو نمونه مستقل از توزیع نرمال چند متغیره که ماتریس کوواریانس مشترک دارند برآوردگرهای انقباضی نوع استاین و جزء مثبت استاین را معرفی و عملکرد آنها را تحت معیارهای اریبی و مخاطره توان دوم تحلیل کرده براساس این تحلیل نتیجه گیری می کنیم . در فصل 6 با در نظر گرفتن دو نمونه از دو توزیع بیضی گون و با کمک گرفتن از مطالب ارائه شده در فصل 2 نتایج فصل 5 را تعمیم می دهیم.