مدولها و مجموعه های جبری توپولوژیک شده

در سراسر این رساله، یک حلقه جابجایی، یکدار و غیر بدیهی و یک - مدول یکانی می باشد. زیر مدول سره از را یک زیر مدول اول می نامند هرگاه به ازای هر و ، ایجاب کند یا . گردایه همه زیر مدولهای اول (ماکسیمال) مدول را با نماد ( ) نمایش می دهیم. نگاشتهای و را به ترتیب نگاشتهای طبیعی طیف اول و طیف ماکسیمال مدول می نامند. یک به یک و پوشا بودن این نگاشتها، نقش بسیار مهمی در مطالعه توپولوژی های زاریسکی بر روی طیف اول یک مدول ایفا می کند. در فصل سوم این رساله ما مدول را از منظر یک به یک بودن این نگاشت طبیعی مطالعه خواهیم کرد و این دسته از مدولها را مدولهای انژکتیو می نامیم. این رسته جدید از مدولها شامل مدولهای تاپ، ضربی و ضربی ضعیف می باشد. ما آن دسته از مدولهایی را که نگاشت طبیعی مربوط به طیف ماکسیمال آنها پوشا می باشد مدولهای ms می نامیم. این دسته جدید از مدولها، مدولهای پرایم فول را به طور اکید در بر دارند. علاوه بر این، مدول را یک مدول فول ماکسیمال می نامیم هرگاه هر زیر مدول اول آن در یک زیر مدول ماکسیمال قرار گیرد. بر روی طیف اول یک مدول، تا کنون سه توپولوژی زاریسکی متمایز تعریف شده است. ایجاد ارتباط بین خواص جبری یک مدول و خواص توپولوژیک طیف اول آن، تحت این توپولوژی های زاریسکی، یکی از اهداف اصلی این رساله می باشد. در فصلهای چهارم و پنجم این رساله، به بررسی خواص توپولوژیک این سه فضای توپولوژیک، تحت شرایط جبری مختلف بر روی مدول خواهیم پرداخت. مهمترین این موارد دست یافتن به شرایط جبری است که تحت آن، این فضاها به یک فضای توپولوژیک اسپکترال تبدیل شوند. ما در فصل پنجم این رساله در مورد اسپکترال بودن هر سه فضای زاریسکی موجود، یعنی و و نتایجی را به دست آورده ایم. در فصل پنجم ، ما به این حدس و این سوال تحت شرایطی خاص پاسخ مثبت داده، قضیه زیر را اثبات می کنیم: (5-16) قضیه: اگر یک مدول انژکتیو برروی حوزه ایده آل اصلی باشد، آنگاه الف) هر زیر مجموعه بسته و تحویل ناپذیراز دارای یک نقطه کلی است. ب) اگر یک فضای توپولوژیک نوتری باشد، آنگاه فضای توپولوژیک اسپکترال است. ج) یک فضای اسپکترال است اگر و فقط اگر متناهی باشد یا غیر تابدار باشد. همچنین ما در مورد اسپکترال بودن فضای ، در فصل پنجم اثبات می کنیم: (5-12) قضیه: فرض کنیم یک - مدول پرایم فول تاپ باشد. آنگاه یک فضای توپولوژیک اسپکترال است اگر به ازای هر ایده آل اول از ، و هر خانواده از عناصر مانند داشته باشیم در فصل آخر این رساله، گردایه ای از مثالهای متنوع از انواع مدولها به همراه طیف اول و ماکسیمال آنها معرفی و ارتباط میان خواص جبری این مدولها و خواص توپولوژیک طیف اول آنها بررسی و تحلیل شده است.