روش آنالیز هوموتوپی و کاربردهای آن

سالهاست که آنالیز تواناترین شاخه ریاضیات بوده و مبحث معادلات دیفرانسیل بخش عمده آن است. هدف اولیه ی معادلات دیفرانسیل آن است که وسیله ای برای مطالعه تغییرات جهان مادی فراهم آورد. نظریه معادلات دیفرانسیل، بهترین و عمومی ترین نظریه ریاضی است که به وسیله ی آن بسیاری از قوانین طبیعی و انسانی را می توان تبیین نمود. این نظریه شاخه ای از آنالیز ریاضی است که از دو دسته ی معادلات دیفرانسیل معمولی، و معادلات دیفرانسیل جزئی تشکیل شده است. کار بر روی این نظریه در قرن هفدهم میلادی توسط توابع مقدماتی آغاز شد. در قرن هجدهم میلادی با بررسی تار مرتعش، اولین معادله دیفرانسیل جزئی پدید آمد. سپس اویلر ضمن بررسی شرایط وجود و یکتایی جواب، به حل مسائل مقدار مرزی با استفاده از سری های توانی پرداخت که بعدها این روش توسط فوریه کامل و به نام او ثبت گردید. تاکنون نظریه معادلات دیفرانسیل عرصه بهترین تحقیقات ریاضی بوده و منشأ ابداع نظریه های گوناگون در ریاضی و علوم دیگر گردیده است. هم چنین با توجه به رابطه نزدیک آن با علوم دیگر، مخصوصاً فیزیک به نقش کلیدی و اهمیت وافر آن می توان پی برد. معادلات ناشی از زمینه ی تکنولوژی، بسیار پیچیده هستند. این معادلات معمولاً دارای ضرایب متغیر بوده، غیر خطی هستند، مرزهای نامنظم دارند و به صورت دستگاه های توأم از انواع مختلف (مثلاً سهموی و هذلولوی ) ظاهر می شوند. در ریاضیات محض، روش های حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از شیوه های تحلیلی مانند انتگرالگیری یا بسط به سری خاص، مورد بررسی قرار می گیرد. در این روش ها تأکید بر یافتن عبارت دقیق برای جواب است. متأسفانه مسائل مهم زیادی در مهندسی و علوم، به خصوص مسائل غیر خطی، وجود دارند که روش های تحلیلی یا در آن ها به کار نمی روند و یا به کار گیری آن ها بسیار مشکل است. در این پایان نامه به حل چند نمونه از معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی می پردازیم. این پایان نامه شامل چهار فصل به صورت زیر است در فصل اول برخی مفاهیم و تعاریف اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه می شود. در فصل دوم به معرفی روش آنالیز هوموتوپی پرداخته شده و ساختار کلی این روش بیان می شود. در فصل سوم کاربردهایی از روش آنالیز هوموتوپی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل جزئی ارائه شده است. در فصل چهارم به حل مسأله شکار و شکارچی و تجزیه اُزن مرتبه دوم در محلول آبدار و معادله زاخاروف با استفاده از روش آنالیز هوموتوپی اختصاص دارد و با ارائه ی مثال هایی، کارایی این روش نشان داده شده است. برنامه های کامپیوتری این روش برای معادلات فصل چهار در پیوست ارائه گردیده است.