کاربردهایی از نظریه طیفی

فرض کنیم t یک عملگر خطی و کراندار روی فضای هیلبرت h باشد. طیف t عبارت است از مجموعه اعداد مختلط z که به ازای این اعداد، وارون t-zi وجود ندارد. آنالیز طیفی یا نظریهء طیفی مربوط به عملگرهای خطی کراندار، یکی از موضوعات اساسی آنالیز تابعی است که به بررسی اصولی روابط بین یک عملگر و عملگر حلال آن، مجموعه های طیف و حلال و همچنین روابط بین مقادیر ویژه و بردارهای ویژهء یک عملگر می پردازد. این نظریه کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک، علم کامپیوتر، زمینه های مختلف مهندسی و... دارد. برای مثال در محاسبات مربوط به توابع روی ماتریس های خودالحاق نقش اساسی دارد. کاربردهای فراوانی از آن را می توان در نظریهء اعداد، نظریهء گراف، حل مسایل بهینه سازی ترکیبیاتی و فیزیک کوانتوم مشاهده کرد. همچنین بسیاری از معادلات دیفرانسیل با کمک این نظریه حل می شوند. در این پایان نامه ابتدا با استفاده از نظریهء طیفی به حل یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی به نام معادلهء موج در فضای سه بعدی می پردازیم. این معادله با مدل سازی ارتعاشات حاصل از دو گوشهء سه بعدی مجاور به دست می آید. در قسمت بعد، دستهء خاصی از عملگرها به نام عملگرهای متقارن مختلط را معرفی کرده و ساختار ویژهء این عملگرها را مورد مطالعه قرار می دهیم. این دسته از عملگرها کاربردهای فراوانی در فیزیک و ریاضیات دارند که به برخی از این کاربردها اشاره شده است.