رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها

در این پایان نامه به مطالعه گسترده رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها بر اساس مقاله آلبرتسن و همکاران (2004) می پردازیم. یک رنگ آمیزی معتبر رأسی برای گراف g یک تخصیص از رنگها به رأس های g است به طوری که هیچ دو رأس مجاوری همرنگ نباشند. یک رنگ آمیزی معتبر برای گراف g را یک رنگ آمیزی ستاره ای گوییم هرگاه زیرگراف القایی روی اجتماع هر دو کلاس رنگی یک جنگل ستاره ای باشد. کمترین تعداد رنگ هایی که برای رنگ آمیزی ستاره ای گراف g لازم است را عدد رنگی ستاره ای گراف g می نامیم. رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها در سال 1973 توسط گرونباوم معرفی شد. کلمن و مور در سال 1983 دریافتند که مسئله تخمین ماتریس های هسین را می توان به مسئله رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها تبدیل کرد. فرتین و همکاران طی دو مقاله در سالهای 2001 و 2002، به مطالعه رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها پرداختند و مقادیر دقیق و نیز کران هایی برای عدد رنگی ستاره ای برخی خانواده های معروف گراف ها به دست آوردند. همچنین آنها کران هایی برای عددرنگی ستاره ای یک گراف بر حسب پارامترهای دیگر گراف مثل ماکسیمم درجه و عرض درختی به دست آوردند. در سال 2001، نستریل و اوسانا دمندز به نتایج مهمی در مورد رنگ آمیزی ستاره ای دست یافتند. در سال 2004، آلبرتسن و همکاران با ایده های جدید و به طور گسترده به بررسی رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها پرداختند و یک تعمیم از رنگ آمیزی معتبر گراف ها ارائه دادند که رنگ آمیزی ستاره ای را به عنوان حالت خاص در برداشت. وود و پور در سال 2007 کرانی برای عددرنگی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی گراف ها به دست آوردند. در سال های 2008 و 2009، کران هایی برای عددرنگی ستاره ای گراف های مسطح به دست آمده است، در حالی که بهترین کران برای عدد رنگی ستاره ای گراف های مسطح هنوز به عنوان یک مسئله باز مطرح است. لیونز در سال 2009 طی چند مقاله نتایجی در مورد عدد رنگی ستاره ای الحاق گراف ها و نیز در مورد عدد رنگی ستاره ای برخی خانواده های خاص از گراف ها و الگوریتم هایی برای تعیین این پارامتر در این گراف ها به دست آورده است. این پایان نامه شامل یک گردآوری از رئوس اصلی نتایج مذکور در بالا است. فصل های این پایان نامه به صورت زیر هستند: در فصل اول با مفاهیم اولیه و تاریخچه مختصری از موضوع آشنا می شویم. در فصل دوم عددرنگی ستاره ای برخی خانواده های خاص و معروف از گراف ها را مشاهده می کنیم. در فصل سوم کران هایی برای عددرنگی ستاره ای یک گراف برحسب پارامترهای دیگر آن را مطالعه می کنیم. در فصل چهار کران هایی که تاکنون برای عددرنگی ستاره ای گراف های مسطح به دست آمده است را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل پنجم یک کران برای عددرنگی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی گراف ها و نتیجه ای در مورد رنگ آمیزی ستاره ای الحاق گراف ها را مشاهده می کنیم. در فصل ششم با یک کاربرد از رنگ آمیزی ستاره ای گراف ها آشنا می شویم و مسئله k-رنگ پذیری ستاره ای گراف ها را مورد بررسی قرار می دهیم.