ٍانتگرال ریمان تعمیم یافته

انتگرال یکی از مفاهیم مهم در آنالیز ریاضی و یکی از ابزار های مهم در تحلیل مسائل فیزیکی و مهندسی است، که در ارتباط با دو موضوع به وجود آمد یکی بازیافت یک تابع از مشتق آن، به عنوان مثال یافتن قانون حرکت یک جسم مادی در طول خط مستقیم وقتی سرعت جسم داده شده باشد و دیگری محاسبه مساحت محدود به نمودار یک تابع و محورx روی بازه [a,b] مانند محاسبه کار انجام شده به وسیله یک نیرو در یک بازه زمانی b ? a ?t. علاوه بر این، محاسبه مساحت دایره یکی از مسائل لاینحل ریاضیات باستان بود، تا زمانی که برای اولین بار ارشمیدس با محاط کردن چند ضلعی هایی در درون دایره و محاسبه مساحت چند ضلعی ها، مساحت دایره را با تقریب محاسبه کرد. هر چقدر که این چند ضلعی ها به دایره نزدیک تر می شدند مساحت چند ضلعی ها به مساحت دایره نزدیک تر می شد. اما به طور دقیق مساحت دایره از این طریق به دست نیامد. بعدها نیوتن به این دلیل که بسیاری از اشکال به گونه ای هستند، که نمی توان در آن ها چند ضلعی محاط کرد روش ارشمیدس را به کار نگرفت. و از روش الگوریتمی به محاسبه مساحت اشکال گوناگون پرداخت. کشی اولین کسی بود که مفهوم حد را معرفی کرد و در پی آن مفهوم پیوستگی و توابع پیوسته به وجود آمد. کشی در سال 1823 با توسیع کار ارشمیدس و با استفاده از مفهوم حد انتگرال معین یک تابع پیوسته f را روی [a,b] محاسبه کرد. او برای اولین بار انتگرال معین را به صورت حد مجموع معرفی کرد. اما توابعی که نیوتن و کشی با آن ها سروکار داشتند همگی انتگرال پذیر بودند. ریمان اولین کسی بود، که بحث توابع انتگرال ناپذیر را معرفی کرد، وی در سال 1853 انتگرال را به صورت یک تئوری جامع ریاضی مطرح کرد و از آن زمان تا به حال این نظریه بارها مورد تجدید نظر قرار گرفته است. تعمیم استیلجس از انتگرال ریمان در مقاله طولانی او در مورد کسرهای مسلسل نهفته بود. این مقاله در سال 1894 میلادی تدوین شده است. اهمیت مقاله او وقتی مشخص شد، که پس از 15 سال از تدوین این مقاله اف.ریس در قضیه نمایش ریس آن را به کار برد. هر چند نظریه انتگرال ریمان بسیار ساده و کاربردی است، اما محدودیت هایی نیز دارد. در اوایل قرن نوزدهم تعمیم هایی از انتگرال ریمان ارائه گردید، که معروفترین و بهترین این انتگرال ها انتگرال لبگ است. مقاله لبگ در سال 1902 میلادی منتشر شد. و هم اکنون یکی از ابزارهای قوی در آنالیز ریاضی، آنالیز تابعی و آنالیز هارمونیک است. هرچند نظریه انتگرال لبگ از لحاظ نظری بسیار قوی است، اما بر خلاف انتگرال ریمان روشی برای محاسبه آن وجود ندارد. ضمناً قضیه اساسی حساب برای انتگرال ریمان و لبگ در حالت کلی برقرار نیست. برقراری قضیه اساسی حساب در حالت کلی، انگیزه ای شد تا دنجوی در سال 1912 انتگرال جدیدی را مطرح کرد، که تعمیمی از انتگرال لبگ بود و قضیه اساسی حساب برای آن در حالت کلی برقرار بود. سپس در سال 1914 پرون تعمیمی دیگر از انتگرال لبگ را مطرح کرد، که برای آن نیز قضیه اساسی حساب در حالت کلی برقرار بود. اما انتگرال های دنجوی و پرون تا حدی تکنیکی بودند تا این که در سال 1950 کورزویل مدل تعمیم یافته انتگرال ریمان را معرفی کرد و سپس در سال 1960 هنستوک اصول اولیه آن را ساخت. این انتگرال یک نام استاندارد ندارد و آن را انتگرال هنستوک، هنستوک کورزویل، ریمان تعمیم یافته و یا انتگرال gauge نیز می نامند. که در این جا آن را انتگرال هنستوک می نامیم. علاوه بر این که ثابت می شود این انتگرال با انتگرال های دنجوی و پرون معادل است ]5[، نسبت به انتگرال لبگ محدودیت های کاربردی کمتری نیز دارد.در این تحقیق بعضی از روش های تعمیم یافته انتگرال ریمان را معرفی می کنیم، به ویژه روی انتگرال هنستوک تأکید خواهیم کرد. اگر چه تعریف انتگرال هنستوک بدون توسل به نظریه اندازه بیان می شود و کاملاً مشابه انتگرال ریمان است، اما این روش باعث بهبود بخشیدن به انتگرال های نیوتن، ریمان و لبگ می شود