خودتوان ها و نگاشت های حافظ خودتوان

دانشگاه بیرجند دانشکده علوم خود توان ها و نگاشت های حافظ خودتوان امان ا.. اسدی، حسین زنگوئی گروه ریاضی دانشگاه بیرجند، [email protected] چکیده در این مقاله خود توان ها را در جبر های باناخ و بطور خاص در جبرهای باناخ b(x) و b(h) معرفی می کنیم و نشان می دهیم که می توان هر عضو از فضای b(h) را بصورت مجموع پنج تصویر یا ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. همچنین ساختار نگاشت های حافظ خودتوان در b(x) را مشخص خواهیم کرد که توسیعی از نتیجه آوچینیکوف در b(h) می باشد. واژه های کلیدی: تصویر؛ خودتوان؛ حافظ جابجایی مقدمه معمولاً هر جا که عمل ضرب قابل تعریف باشد خودتوان هم تعریف می شود ولی در این مقاله ما خودتوان را برای جبر باناخ تعریف می کنیم. تعریف1-1: اگر a یک جبر باناخ باشد عنصر e?a را خودتوان می گوییم هرگاه e^2=e. خودتوان های b(x) ( جبر عملگر های کراندار روی فضای باناخ x ) را تصویر می نامیم. در b(h) حالت خاص تری از تصاویر قابل تعریف هستند. تعریف1-2: عملگر p?b(h) را یک تصویر متعامد می نامیم هرگاه p^2=p وn(p)? r(p). تصاویر متعامد عملگر های خودالحاق و مثبت هستند. خاطر نشان می کنیم که همه تصاویر متعامد نیستند. ولی هر تصویر با یک تصویر متعامد، متشابه هست. تعریف1-3: دو تصویر p و q را نسبت به هم متعامد خوانیم اگر pq=qp=o و می نویسیم p?q. تعریف1-4: اگر p و q دو تصویر باشند گوییم عملگر p از q کوچکتر است(p? q) هرگاه pq=qp=p . بررسی خواص جبری تصاویر گزاره های زیر براحتی اثبات می شوند که ارتباط بین ترتیب و تعامد را با عمل های جبر نشان می دهند. گزاره2-1: اگر p و q دو تصویر متعامد در b(h) باشند آنگاه p+q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p?q . گزاره2-2: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند، آنگاه p-q تصویر متعامد است اگر و تنها اگر q?p. قضیه2-3: فرض کنید p و q دو تصویر نه لزوماً متعامد در b(h) باشند اگر ? و ? دو عدد مختلط غیر صفر باشند و ?+??0 آنگاه معکوس پذیری ?p+?q مستقل از انتخاب ? و ? است. اثبات: [2] گزاره2-4: اگر p و q دو تصویر متعامد باشند آنگاه pq تصویر متعامد است اگر و تنها اگر p و q با هم جابجا شوند. قضیه2-5: فرض کنید p_j (1?j?r) تصاویر متعامد روی زیر فضاهای بسته m_j از فضای هیلبرت h باشند و فرض کنید p_m تصویر متعامد روی m=m_1? ? m?_2…? m_r باشد اگر t=p_r p_(r-1)…p_1 آنگاه دنباله {t^k} به p_m همگرای قوی است وقتی که k?? . اثبات:[4] همانطور که دیده می شود، وقتی دو تصویر متعامد جابجا نمی شوند حاصل ضرب آنها تصویر متعامد نیست ولی دنباله توانی آن به یک تصویر متعامد همگرا می شود. در ادامه نشان می دهیم که تصاویر سنگ بنای سایر عملگرها هستند. یعنی می توان سایر عملگرها را در حالت کلی بر حسب تصاویر نوشت. استمفلی (1963) نشان داد که هر عملگر کراندار روی فضای هیلبرت جدایی پذیر از بعد نامتناهی را می توان به صورت مجموع 8 تصویر نوشت. اما بعد از سه سال پیرسی و تاپینگ موفق شدند این تعداد را به پنج تصویر کاهش دهند. قضیه 2-6: هر عملگر روی h مجموع پنج تصویر است. آنها همچنین ثابت کردند که قضیه2-7: هر عملگر خودالحاق در ? ترکیب خطی حقیقی 8 تصویر متعامد است. اثبات:[6] در نتیجه هر عملگر دلخواه b(h) را می توان بصورت ترکیب خطی شانزده تصویر متعامد نوشت. نگاشت های حافظ خودتوان در سال 1993 پیتر شمرل نشان داد که در جبر ماتریسها عملگرهای حافظ تصویر روی m_n (جبر همه ماتریس های n×n مختلط ) همان همریختی های ژوردان هستند[1]. ولی هدف اصلی ما پرداختن به نگاشت های دوسویی حافظ تصاویر می باشد. در این قسمت x فضای باناخ و p(x)? b(x) مجموعه همه ی تصاویر خواهد بود. برای بررسی نگاشت های حافظ تصویر در حالت کلی تر ابتدا تعاریف زیر را بیان می کنیم. تعریف3-1: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ ترتیب در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p?q اگر و تنها اگر ?(p)??(q). تعریف3-2: نگاشت دو سویی ?? p(x)? p(x) را حافظ تعامد در هر دوسو می نامیم هرگاه به ازای هر p,q?p(x) ، p ? q??(p)??(q). در سال 1993 آوچینیکوف ثابت کرد که اگر dim?(h)?3 و p(h) مجموعه مرتب جزئی متشکل از همه تصویر های جبر باناخ b(h) باشد، آنگاه هر خودریختی? روی p(h) یک نگاشت دو سویی است که حافظ ترتیب در هر دو جهت می باشد و نمایشی به صورت p?ap^* a^(-1) یا p?apa^(-1) دارد که در آن a نیم خطی دو سویی است هنگامی که h متناهی البعد است و یا این که a عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار است هنگامی که h نا متناهی البعد است. [5] ابتدا کار آوچینیکوف بصورت زیر توسیع یافت. قضیه 3-3: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد و ?? p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ تعامد در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی معکوس پذیر کراندار t? x?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p)= tpt^(-1) یا یک عملگر خطی یا (در حالت مختلط) مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x وجود دارد بطوری که ?p ?p(x) ?(p) = tp^* t^(-1) ?? که در این حالت باید x بازتابی باشد. [7] امّا پیتر شمرل ثابت کرد نگاشت های حافظ ترتیب و تعامد یکسانند بدین صورت اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف ارایه شد. همچنین از دیدگاه حافظ جابجایی به نگاشت های حافظ تصویر پرداخت. تعریف3-4: نگاشت دوسویی ?? p(x)? p(x) را حافظ جابجایی در هر دو طرف خوانیم هرگاه pq = qp??(p)?(q) = ?(q)?(p) به ازای هر p,q ? p(x) . فرض کنید ?? p(x)?{0,1} نگاشتی دارای این ویژگی باشد که به ازای هر p? p(x)،? (p) = 1?? (i-p) =1 . اکنون نگاشت ?? p(x)? p(x) را با ضابطه ی ?(p) = ? (p)p + (1-?(p))(i ??-p) تعریف می کنیم. این نگاشت را تبدیل متعامد روی p(x) می نامیم برای هر p?p(x) این نگاشت هر یک از p و i-p را به خودش یا دیگری تصویر می کند. بسادگی دیده می شود که این نگاشت دوسویی و حافظ جابجایی در هر دو جهت می باشد. قضیه اصلی ما این است که نشان دهیم هر نگاشت دوسویی حافظ جابجایی روی p(x) ترکیبی از این نگاشت ها می باشد. قضیه3-5: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ جابجایی در هر دوسو باشد. آنگاه یک تبدیل متعامد ?? p(x)? p(x) و عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x ? x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = t?(p)t^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = t??(p)?^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. اثبات:[8] از آنجا که ثابت می شود هر نگاشت حافظ تعامد حافظ جابجایی نیز هست بی درنگ نتیجه ی زیر از دو قضیه بالا گرفته می شود که خود اثبات دیگری از نتایج آوچینیکوف می باشد. نتیجه3-6: فرض کنید xیک فضای باناخ نامتناهی البعد مختلط و ? : p(x)? p(x) یک نگاشت دوسویی حافظ ترتیب در هر دوسو باشد. آنگاه عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t: x?x وجود دارد بطوری که به ازای هر p ?p(x) داریم ?(p) = tpt^(-1) ?? یا یک عملگر خطی یا مزدوج خطی کراندار معکوس پذیر t? x^*?x بطوری که ?(p) = tp^* t^(-1) ?? و در این حالت باید x بازتابی باشد. references [1] m. bre?ar, p. ?emrl, mappings which preserve idempotents, can. j. math. vol. 45 (3), (1993), 483-496. [2] h. k. du, x. y. yao, c. y. deng, invertibility of linear combinations of two idempotents, amer. math. soc. 134 (2006), 1451–1457. [3] n. j. kalton, sums of idempotents in banach algebras, canad. math.bull. vol. 31 (1988), 448-451. [4] a. netyanun, d. c. solmon, iterated products of projections in hilbert space, the mathematical association of america, [ monthly 113 august-septamber 2006], 644-648 [5] p. g. ovchinnikov, automorphisms of the poset of skew projections, j. funct. anal. 115 (1993), 184-189. [6]c. pearcy, d. topping, sums of small numbers of idempotents, michigan math. j. 14 (1967), 453–465. [7] p. ?emrl, non-linear commutativity preserving maps, acta sci. math. (szeged) 71 (2005), 781-819. [8] p. ?emrl, maps on idempotents, studia mathematica 169 (1) (2005), 21-44.